早稲田大学基幹・創造・先進理工学部2020年数学入試問題
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[1] 複素数α，β，γが
かつ
を満たすとき、以下の問に答えよ。
(1) α，β，γを表す複素平面上の点が正三角形をなすことを示せ。
(2) 
の値を求めよ。 (3) nを3で割り切れない自然数とするとき
の値を求めよ。 [解答へ]
[2] 放物線
をCとする。C上を動く点をP
とし、dを正の定数とする。点PにおいてCに接する半径dの円で、中心Qの座標
が
を満たすものを考える。このとき、以下の問に答えよ。
(1) 放物線CのPにおける接線の方程式を求めよ。
(2) 放物線CのPにおける法線の方程式を求めよ。
(3) 中心Qのy座標Yをtを用いて表せ。
(4) Yの極小値を求めよ。
[解答へ]
[3] 曲線
の
の部分とx軸上の線分
のなす曲線をCとし、Cをy軸のまわりに1回転してできる容器をVとする。ただし、
は
で定義された正の関数とする。Vに毎秒一定量vの水を注ぐとする。t秒後のV内の水位を
とするとき、以下の問に答えよ。
(1) 水位が一定の速さで上昇するとき、
は定数関数であることを示せ。 (2) 
のとき、
を求めよ。 [解答へ]
[4] 箱の中にa個の赤玉とb個の白玉を合わせて2020個入れる。ただし、
，
とする。n人を一列に並べ、前から順に1, 2, ･･･, nと番号をつける。番号1の人から順に玉を1個取り出し、色を確認したら箱の中へ戻し最後尾に並び直す。これを赤玉が出るまで繰り返す。番号kの人が赤玉を引く確率を
，また、
，
とするとき、以下の問に答えよ。
(1) 
をβを用いて表せ。 (2) 各
に対して、
を求めよ。 (3) 各
に対して
とし、 と定める。
のとき、Eの値を最大にするようなa，bを求めよ。必要ならば、
なる実数rに対して
となることを用いてよい。 [解答へ]
[5] 以下の問に答えよ。
(1) 関数
のグラフと関数
のグラフを一つの座標平面上に描け。 (2) 連立不等式
，
，
，
の表す領域をDとする。このとき、Dを図示せよ。 (3) 領域Dの面積を求めよ。
(4) 領域Dをx軸のまわりに1回転してできる回転体の体積を求めよ。
[解答へ]
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