早大理工数学'20年[1]
複素数α，β，γが
かつ
を満たすとき、以下の問に答えよ。
(1) α，β，γを表す複素平面上の点が正三角形をなすことを示せ。
(2) 
の値を求めよ。 (3) nを3で割り切れない自然数とするとき
の値を求めよ。
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解答 
という条件は、α，β，γが表す点が単位円上にあることを示しています。
は、3点α，β，γでできる三角形の重心が原点であることを示しています。
(1) 対称性により各辺の垂直二等分線が原点を通ることから、三角形の外心も原点になります。重心と外心が一致する三角形は正三角形、と言えますが、ここでは、計算でやってみます。 
･･･①
をどこかからひねり出す必要がありますが、
より、
，よって、∴ 
①より、
よって、3辺の長さが等しく、α，β，γが表す3点で正三角形をなすことになります。
(2) α，β，γが表す3点が、この順に反時計回りに並んでいるとして一般性を失いません。
(1)より、
として、
ですが、βはαを原点の回りに
回転させた点、γはαを原点の回りに
回転させた点で、 
，
と表されます。
よって、
......[答]
(3) nが3で割り切れない自然数であることから、
，
として、
とおくと、
より、
，
より、
なので(1の累乗根を参照)、
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，
より、
，
，
より、
，
，
のとき、
のとき、
......[答]