早大理工数学'20年[4]
箱の中にa個の赤玉とb個の白玉を合わせて2020個入れる。ただし、
，
とする。n人を一列に並べ、前から順に1, 2, ･･･, nと番号をつける。番号1の人から順に玉を1個取り出し、色を確認したら箱の中へ戻し最後尾に並び直す。これを赤玉が出るまで繰り返す。番号kの人が赤玉を引く確率を
，また、
，
とするとき、以下の問に答えよ。
(1) 
をβを用いて表せ。 (2) 各
に対して、
を求めよ。 (3) 各
に対して
とし、 と定める。
のとき、Eの値を最大にするようなa，bを求めよ。必要ならば、
なる実数rに対して
となることを用いてよい。
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解答 箱から玉を1個取り出して赤玉を引く確率はα，白玉を引く確率はβです。試験会場で、
･･･① を忘れてパニックにならないように。
(1) 
は、2人で箱から玉を取り出し番号1の人が赤玉を引く確率です。 1回目に番号1の人が赤玉を引く確率はαです。2回目に番号1の人が赤玉を引く確率は、1回目に2人が白白と引いた後、2回目で番号1の人が赤玉を引く確率で、
3回目に番号1の人が赤玉を引く確率は、1回目、2回目に2人が白白白白と引いた後、3回目で番号1の人が赤玉を引く確率で、
以下、同様に、m回目に番号1の人が赤玉を引く確率は、1回目、2回目、･･･、
回目に2人が
回白玉を引いた後、m回目で番号1の人が赤玉を引く確率で、
より、公比
の無限等比級数は収束し、①を使って、 
......[答]
(2) n人いるときに、1回目に番号kの人が赤玉を引く確率は、番号1から番号
の人が白玉を引き，番号kの人が赤玉を引く確率で、
2回目に番号kの人が赤玉を引く確率は、1回目のn人と2回目の番号1から番号
の人が白を引き、番号kの人が赤玉を引く確率で、
m回目に番号kの人が赤玉を引く確率は、1回目から
回目までの
回白玉を引いた後、m回目で番号kの人が赤玉を引く確率で、
より、公比
の無限等比級数は収束し、 
･･･②同様にして、
よって、
......[答]
(3) ②を用いて、
より、
とおくと、
両辺を
で割り、 ここで
とすると、
，
と問題文の指示より、
よって、
より、
よって、
(等号は
のとき)以上より、Eを最大にするa，bは、
......[答]
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