早大理工数学'20年[5]
以下の問に答えよ。
(1) 関数
のグラフと関数
のグラフを一つの座標平面上に描け。 (2) 連立不等式
，
，
，
の表す領域をDとする。このとき、Dを図示せよ。 (3) 領域Dの面積を求めよ。
(4) 領域Dをx軸のまわりに1回転してできる回転体の体積を求めよ。
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解答 (3)(4)は出題ミスで解答不能、とのことです。
(1) 
･･･① のグラフは、
では
，
では
(指数関数を参照) 
･･･② のグラフは、
では
(
)，
では
(
)これらをまとめて図示すると、右図太線部分。
のグラフと
のグラフを抜き出すと、右図太線。
(2) 
･･･③ のグラフは、
では①の
，
では
(①の
のグラフをx軸に関して対称移動させたもの) 
のグラフは、③の
のグラフをx軸負方向に
だけ平行移動したものです。
･･･④ のグラフは、
では②の
，
では
(②の
のグラフをy軸に関して対称移動させたもの)
のグラフは、④の
のグラフをy軸負方向に2だけ平行移動したものです。
・連立不等式
，
･･･⑤ の現す領域は、
かつ
となる領域で、図示すると、右図水色着色部。
かつ
となる領域で、図示すると、右図黄色着色部。
⑤かつ⑥の領域Dは、⑤の領域と⑥の領域の重なっている部分で、図示すると、右図黄緑色着色部(境界線含む)。
(3)(4) 問題文のままだと、無限大と解答するか、解なし、とするかですが、Dを表す連立不等式が、
だったとして考えてみます。
より、このときの領域Dは、右図黄緑色着色部(境界線含む)になります。
このときの領域Dの第1象限の部分の境界線は、
において
，
において
(
)領域Dの第1象限の部分の面積は、直線
に関する対称性より、曲線
とx軸に挟まれた部分のうちの
の部分の面積から、図の△OABの面積を引いて2倍したもので、 求める面積はこの4倍で、
......[答]領域Dをx軸のまわりに1回転してできる回転体の体積は、y軸に関する対称性より、
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・連立不等式
，
･･･⑥ の表す領域は、
，
，
，
かつ
かつ
かつ
......[答]
