早大理工数学'21年[1]
xy平面上の曲線
をCとする。C上の2点A
，B
をとる。さらに、C上で原点OとBの間に動点P
(
)をとる。このとき、以下の問に答えよ。
(1) 直線APとx軸のなす角をαとし、直線PBとx軸のなす角をβとするとき、
，
をtを用いて表せ。ただし、
，
とする。 (2) 
をtを用いて表せ。 (3) 
を最小にするtの値を求めよ。
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解答 微分の計算問題ですが、
がどの角なのか注意しましょう。
......[答]
......[答]
(2) まず、
なので
，つまり、
，
であることに注意します。点Aを通りx軸と平行な直線と直線PBとの交点をQとすると、
は、△APQの内角
の外角で、
，正接は周期πの周期関数なので、
ここで、点Qのx座標は
よりも大きいので、直線PBの傾きは直線ABの傾き1よりも大きく、BにおけるCの接線の傾き3 (
，
のとき
)よりも小さくなります。つまり、
曲線Cは
において下に凸(
において、
)なので、直線APの傾きは直線ABの傾き1よりも小さく、
よって、
となり、
，つまり、
において、
です。 
......[答](3) 
(
)とおき、微分すると、 
とすると、
においては、
増減表は、
が最小のとき
も最小で、増減表より、
を最小にするtは、
......[答]
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，点B
を結ぶ直線PBの傾き
は、
は、
