早大理工数学'21年[5]
正四面体OABCに対し、三角形ABCの外心をMとし、Mを中心として点A,B,Cを通る球面をSとする。また、Sと辺OA,OB,OCとの交点のうち、A,B,Cとは異なるものをそれぞれD,E,Fとする。さらに、Sと三角形OABの共通部分として得られる弧DEを考え、その弧を含む円周の中心をGとする。
,
,
として、以下の問に答えよ。
(2) 三角形OABの面積を
,四角形ODGEの面積を
とするとき、
:
をできるだけ簡単な整数により表せ。
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解答 素直に内積計算すると計算量が多くなるので、工夫が必要です。
(1) 正三角形では外心と重心は一致する(三角形の五心を参照)ので、Mは三角形の重心で、 ここで、正四面体の各辺の長さを1とすると、OA,OB,OC相互の間のなす角は
なので、
,
・・・AA,DはMを中心とする球面S上の点で、
ということは、Mは線分ADの垂直二等分線上の点で、ADの中点をJとして、DもJも辺OA上の点で、 とおくと、
より、
です。@より、 
(∵ A)∴
,
Bより、
......[答] ・・・C
正四面体の対称性より、全く同様にして、
,
......[答]
D,E,A,Bは球面S上の点で、弧DEを含む円周上の点でもあります。よって、この円の中心Gは△OAB上の点で、
より、Gは、ABの垂直二等分線(Oを通る)上の点、つまり、ABの中点をNとして直線ON上の点です。
・・・D なので、 とおけます。また、
より、GはADの垂直二等分線(ADの中点Jを通りOAに垂直)上の点で、
より、 ∴
,
......[答] (2) Dと(1)の
の結果より、 DEとONの交点をKとしてCより、OK:ON = OD:OA = 1:3 = 3:9よって、△ODE:△OAB = 1:9 = 3:27またEより、OK:KG = OK:
= 3:
= 3:5より、△ODE:△DEG:△OAB = 3:5:27
△OAB,四角形ODGEの面積
は△ODE+△DEG,よって、
:
= 27:(3+5) = 27:8 ......[答]
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