早大理工数学'21年[5]
正四面体OABCに対し、三角形ABCの外心をMとし、Mを中心として点A，B，Cを通る球面をSとする。また、Sと辺OA，OB，OCとの交点のうち、A，B，Cとは異なるものをそれぞれD，E，Fとする。さらに、Sと三角形OABの共通部分として得られる弧DEを考え、その弧を含む円周の中心をGとする。
，
，
として、以下の問に答えよ。
(2) 三角形OABの面積を
，四角形ODGEの面積を
とするとき、
：
をできるだけ簡単な整数により表せ。
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解答 素直に内積計算すると計算量が多くなるので、工夫が必要です。
(1) 正三角形では外心と重心は一致する(三角形の五心を参照)ので、Mは三角形の重心で、 ここで、正四面体の各辺の長さを1とすると、OA，OB，OC相互の間のなす角は
なので、 
，
･･･②A，DはMを中心とする球面S上の点で、
ということは、Mは線分ADの垂直二等分線上の点で、ADの中点をJとして、DもJも辺OA上の点で、 とおくと、
より、
です。①より、 
(∵ ②)∴ 
，
③より、
......[答] ･･･④
正四面体の対称性より、全く同様にして、
，
......[答]
D，E，A，Bは球面S上の点で、弧DEを含む円周上の点でもあります。よって、この円の中心Gは△OAB上の点で、
より、Gは、ABの垂直二等分線(Oを通る)上の点、つまり、ABの中点をNとして直線ON上の点です。
･･･⑤ なので、 とおけます。また、
より、GはADの垂直二等分線(ADの中点Jを通りOAに垂直)上の点で、
より、 ∴ 
，
......[答] (2) ⑤と(1)の
の結果より、 DEとONの交点をKとして④より、OK：ON = OD：OA = 1：3 = 3：9よって、△ODE：△OAB = 1：9 = 3：27また⑥より、OK：KG = OK：
= 3：
= 3：5より、△ODE：△DEG：△OAB = 3：5：27
△OAB，四角形ODGEの面積
は△ODE＋△DEG，よって、 
：
= 27：(3+5) = 27：8 ......[答]
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，
，
，
を
，
，
を用いて表せ。
：
= 
：
= 9：8 ･･･⑥
