早大理工数学'21[5]

正四面体OABCに対し、三角形ABCの外心をMとし、Mを中心として点ABCを通る球面をSとする。また、Sと辺OAOBOCとの交点のうち、ABCとは異なるものをそれぞれDEFとする。さらに、Sと三角形OABの共通部分として得られる弧DEを考え、その弧を含む円周の中心をGとする。として、以下の問に答えよ。
(1) を用いて表せ。
(2) 三角形OABの面積を,四角形ODGEの面積をとするとき、をできるだけ簡単な整数により表せ。


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解答 素直に内積計算すると計算量が多くなるので、工夫が必要です。

(1) 正三角形では外心と重心は一致する(三角形の五心を参照)ので、Mは三角形の重心で、
 ・・・@ (空間ベクトルを参照)
ここで、正四面体の各辺の長さを1とすると、OAOBOC相互の間のなす角はなので、
 ・・・A
ADMを中心とする球面S上の点で、ということは、Mは線分ADの垂直二等分線上の点で、ADの中点をJとして、DJも辺OA上の点で、
 ・・・B (ベクトルを参照)
とおくと、より、です。@より、

(∵ A)
Bより、 ......[] ・・・C
正四面体の
対称性より、全く同様にして、 ......[]
D
EABは球面S上の点で、弧DEを含む円周上の点でもあります。よって、この円の中心Gは△OAB上の点で、より、Gは、ABの垂直二等分線(Oを通る)上の点、つまり、ABの中点をNとして直線ON上の点です。 ・・・D なので、
とおけます。また、より、GADの垂直二等分線(ADの中点Jを通りOAに垂直)上の点で、より、

......[]
(2) Dと(1)の結果より、
= = 98 ・・・E
DEONの交点をKとしてCより、
OKON = ODOA = 13 = 39
よって、△ODE:△OAB = 19 = 327
またEより、OKKG = OK= 3= 35より、△ODE:△DEG:△OAB = 3527
OAB,四角形ODGEの面積は△ODE+△DEG,よって、
= 27(3+5) = 278 ......[]



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