早稲田大学基幹・創造・先進理工学部2024年数学入試問題
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[1] 円C：
に接する直線で、x切片、y切片がともに正であるものを
とする。Cと
とx軸により囲まれた部分の面積をS，Cと
とy軸により囲まれた部分の面積をTとする。
が最小となるとき、
の値を求めよ。
[解答へ]
[2] nを自然数とし、数1，2，4を重複を許してn個並べてできるn桁の自然数全体を考える。そのうちで3の倍数となるものの個数を
，3で割ると1余るものの個数を
，3で割ると2余るものの個数を
とする。
(1) 
を
，
を用いて表せ。同様に、
を
，
を用いて、
を
，
を用いて表せ。 (2) 
をnと
を用いて表せ。 (3) 
をnと
を用いて表せ。 (4) 
(
)をmを用いて表せ。 [解答へ]
[3] 点O，A，B，Cを頂点とする四面体OABCを考える。辺OA，OB，OCの中点をそれぞれP，Q，Rとし、辺BC，CA，ABの中点をそれぞれS，T，Uとする。
(1) 辺PS，QT，RUが1点で交わることを示せ。
(2) 
のとき、点P，Q，R，S，T，Uが同一球面上にあることを示せ。 (3) (2)において、辺PSが辺OA，BCと直交するとし、辺OA，BCの長さをそれぞれa，kとする。点P，Q，R，S，T，Uを頂点とする八面体の体積Vをaとkを用いて表せ。
(4) (3)において、
のとき八面体の体積Vの最大値を求めよ。 [解答へ]
[4] 2つのチームW，Kがn回試合を行う。ただし、
とする。各試合でのW，Kそれぞれの勝つ確率は
とし、引き分けはないものとする。Wが連敗しない確率を
とする。ただし、連敗とは2回以上続けて負けることを言う。
(1) 
を求めよ。 (3) 以下の2式を満たすα，βを求めよ。
(4) 
を求めよ。 [解答へ]
[5] xy平面上において、以下の媒介変数表示をもつ曲線をCとする。
ただし、
とする。
(1) yの最大値、最小値を求めよ。
(2) 
となるt の範囲を求め、Cの概形をxy平面上に描け。 (3) Cをy軸のまわりに1回転してできる立体の体積Vを求めよ。
[解答へ]
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と
を用いて表せ。
