早大理工数学'24年[3]
点O，A，B，Cを頂点とする四面体OABCを考える。辺OA，OB，OCの中点をそれぞれP，Q，Rとし、辺BC，CA，ABの中点をそれぞれS，T，Uとする。
(1) 辺PS，QT，RUが1点で交わることを示せ。
(2) 
のとき、点P，Q，R，S，T，Uが同一球面上にあることを示せ。 (3) (2)において、辺PSが辺OA，BCと直交するとし、辺OA，BCの長さをそれぞれa，kとする。点P，Q，R，S，T，Uを頂点とする八面体の体積Vをaとkを用いて表せ。
(4) (3)において、
のとき八面体の体積Vの最大値を求めよ。
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解答 正直に四面体の体積を考えると、以下のように、かなり大変です(制限時間内に解答できるとは思いますが)。「辺PSが辺OA，BCと直交する」という問題文の条件を活かして簡便に解答可能です。(4)は、問題の不備のため解答不能、とのことです。
，
，
とおくと、
，
，
，
，
，
，
，
，
(ベクトルの内分・外分を参照) ･･･(＊)
(1) 直線PS上の点の位置ベクトルは、(＊)を用いて(空間ベクトルを参照)、 
･･･①直線QT上の点の位置ベクトルは、(＊)を用いて、
･･･②直線RU上の点の位置ベクトルは、(＊)を用いて、
･･･③①，②，③の係数を等しいとすると、
，
，
となり、
のときに満たされます。このとき、①でも②でも③でも、
となりますが、点Gを
を満たす点とすると、Gは、辺PSの中点(
)であり、辺QTの中点(
)であり、辺RUの中点(
)です。 ･･･(＊＊)即ち、辺PS，QT，RUは1点Gで交わります。
(2) 
(内積を参照) よって、
のとき、 
(
とおきます) ･･･④となります。ここで、④と(＊)を用いて、
よって、
です。(1)の(＊＊)より、Gは、辺PS，辺QT，辺RUの中点なので、
より、点P，Q，R，S，T，UはGを中心とする同一球面上にあります。
(3) 
より、④と(＊)を用いて、
より、
∴ 
･･･⑤
より、④を用いて、 ∴ 
･･･⑥
また、
より、④，⑤，⑥を用いて、 ∴ 
･･･⑦
④，⑤，⑦を用いて、 
･･･⑧同様に、⑦より、
△ABCは、AB = ACの二等辺三角形で、
，
，⑧より、 
･･･⑨
･･･⑩Oから△ABCに垂線を下すと、垂線の足Hは、AS上に来ます。
wを実数として、(＊)を用いて、
･･･⑪
･･･⑫とおくと、
であって、
より、 
･･･⑬⑪，④，⑤を用いて、
･･･⑭④，⑤，⑦，⑪より、
⑭，⑮を⑬に代入することにより、
⑫，⑮より、
これと⑩より、四面体OABCの体積
は、 
･･･⑯ところで、点P，Q，R，S，T，Uを頂点とする八面体は、四面体OABCから四面体OPQR，四面体APQU，四面体BSQU，四面体CRSTを取り除いたものです。点P，Q，R，S，T，Uが四面体OABCの各辺の中点であることから、四面体OPQR，四面体APQU，四面体BSQU，四面体CRSTの体積は、四面体OABCの体積
の
です(面積比・体積比を参照)。⑯より、八面体の体積Vは、 
......[答]
別解．上記では、△ABCを底面と考えたために高さを求めるのに苦労することになりましたが、少々工夫することにより、この作業を回避することができます。
[解法1] 問題文の
を活かして、四面体OABCを△OASで切って、四面体COASと四面体BOASに分けます。SはBCの中点であり、(2)よりAB=AC，⑦よりOB=OC，よって、この2つの四面体は合同で、四面体BOASは、△OASを底面と考えると高さは
です。 上記④，⑤，⑦より、
･･･⑰四面体BOASの体積は、
四面体OABCの体積はこの2倍で、
八面体の体積は、この
で、
[解法2] 点P，Q，R，S，T，Uを頂点とする八面体を四角形QRTU(右上図黄色着色部)で切って2つに分け、四角錐PQRTUと四角錐SQRTUに分けます。以下で見るように中点連結定理より、
，
，
，
，よって、この2つの四角錐は合同です。△COAにおいて、中点連結定理より、OA // RT △BOAにおいて、中点連結定理より、OA // QUよって、RT // QU同様に、QR // UTまた、上記(2)より、QT = RUであって、四角形QRTUは長方形で、
，
より、その面積は、
です。
また
より、
，
，よって、PSは長方形QRTUと垂直です。
⑰より
なので、四角錐PQRTUの体積は、 です。八面体の体積は、この2倍で、
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