早大理工数学'24年[4]
2つのチームW，Kがn回試合を行う。ただし、
とする。各試合でのW，Kそれぞれの勝つ確率は
とし、引き分けはないものとする。Wが連敗しない確率を
とする。ただし、連敗とは2回以上続けて負けることを言う。
(1) 
を求めよ。 (3) 以下の2式を満たすα，βを求めよ。ただし、
とする。 (4) 
を求めよ。
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解答 Wが早稲田でKが慶應でしょうか？いかにも早慶戦のような雰囲気の問題で、「連敗」とは何事か！と野球部に怒られたりしないのでしょうか？
(1) 勝ちを〇、負けを●で表すと、3回試合をして連敗しないのは、
〇〇〇，〇〇●，〇●〇，●〇〇，●〇●の5通りあります。3試合での勝敗のパターンは
通りあります。求める確率は、
......[答]問題文では
となっていますが、1試合の場合も考慮に入れると、1試合では連敗ということはないので、
です。2試合で連敗するのは、●●の1通り、2試合の勝敗のパターンは
通り、
勝敗どちらでもよい、というのを×で表して、4試合だと、連敗は、●●××，〇●●×，×〇●●の場合で、それぞれの確率を加え合わせて、
(2) n試合目に連敗していない、と言っても、n試合目に勝って連敗しない場合と、負けて連敗しない場合があり漸化式を立てにくい問題なので、状況を2つに分けて、n試合目に勝って連敗していない確率を
，n試合目に負けて連敗していない確率を
とします。
としておきます。両者排反で、 
･･･①です。n試合目に勝って連敗していない場合は、
試合目の結果にかかわらず、
試合目まで連敗していません。
試合目に勝って連敗していない確率も
試合目に負けて連敗していない確率もともに
です。n試合目に負けて連敗していない場合は、
試合目に勝った場合のみ、
試合目までで連敗しません。この確率(
試合目に勝って連敗していない)は
です。
以上より、①を考慮して、 
･･･②
また、
として、 
･･･③
･･･④②，③，④を用いて、
∴ 
......[答] ･･･⑤
こうやって漸化式ができてみると、
試合目まで連敗しないのは、
試合目まで連敗せず(確率
)に
試合目に勝つ(確率
)か、n試合目まで連敗せず(確率
)に、
試合目に勝って
試合目に負ける(確率
)ときだ、ということが分かります。
で
のとき、漸化式を満たしています。
で
のとき、漸化式を満たしています。
･･･⑦が成立しているとして、
の2解で、
，
......[答]
(4) ⑥より、数列
は、公比：α，初項：
の等比数列です。よって、 
･･･⑧⑦より、数列
は、公比：β，初項：
の等比数列です。よって、 
･･･⑨⑨－⑧より、
......[答]
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を
と
を用いて表せ。
より、
，
として、⑥，⑦が得られます。
としてみると、
，