早大理工数学'24年[2]
nを自然数とし、数1，2，4を重複を許してn個並べてできるn桁の自然数全体を考える。そのうちで3の倍数となるものの個数を
，3で割ると1余るものの個数を
，3で割ると2余るものの個数を
とする。
(1) 
を
，
を用いて表せ。同様に、
を
，
を用いて、
を
，
を用いて表せ。 (2) 
をnと
を用いて表せ。 (3) 
をnと
を用いて表せ。 (4) 
(
)をmを用いて表せ。
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解答 自然数を10進法で表すとき、各桁の数字の和が3で割り切れればその自然数は3の倍数であり、各桁の数字の和が3で割って1余ればその自然数も3で割ると1余り、各桁の数字の和が3で割って2余ればその自然数も3で割ると2余る、という事実(整数を参照)を使って考えます、難しいわけではないので、登場する数が大きくても惑わされないようにしましょう。
(1) 3で割り切れるn桁の自然数(
個)の
桁めに1，4を付加すると、3で割ると1余る
桁の自然数が
個できます。 3で割り切れるn桁の自然数(
個)の
桁めに2を付加すると、3で割ると2余る
桁の自然数が
個できます。3で割ると1余るn桁の自然数(
個)の
桁めに1，4を付加すると、3で割ると2余る
桁の自然数が
個できます。3で割ると1余るn桁の自然数(
個)の
桁めに2を付加すると、3で割りきれる
桁の自然数が
個できます。3で割ると2余るn桁の自然数(
個)の
桁めに1，4を付加すると、3で割りきれる
桁の自然数が
個できます。3で割ると2余るn桁の自然数(
個)の
桁めに2を付加すると、3で割ると1余る
桁の自然数が
個できます。
よって、求める連立漸化式は、 3式を辺々加え合わせると、
数列
は、公比3：初項
の等比数列です。1桁の自然数、1，2，4で、3で割り切れるものは
個、3で割ると1余るものは
個、3で割ると2余るものは
個あります。 よって、
･･･①
(2) (1)の結果(＊)を用いて、
ここに(＊)を代入して、
①より、
，これを代入し、 
......[答] ･･･②同様にして、
･･･③
･･･④
(3) ②より、
④より、
③より、
......[答] ･･･⑤
(4) ⑤において、
として、 
･･･⑥
より、
(
)とおくと
，
，また、
より、⑥を書き換えると、
で割ると、
であって、⑦－⑧より、
よって、数列
は、公比：
，初項：
である等比数列。
∴ 
∴ 
......[答]
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，
，
......[答] ･･･(＊)
(
)とおくと、
で、
･･･⑦
･･･⑧ ∴ 
