早大理工数学'24年[1]
円C:に接する直線で、x切片、y切片がともに正であるものをとする。Cととx軸により囲まれた部分の面積をS,Cととy軸により囲まれた部分の面積をTとする。が最小となるとき、の値を求めよ。
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解答 以下では、平凡に正直に計算して解答します。
円C上の点は、円Cの半径が1 (円の方程式を参照)なので、θを実数として、と表せます(円の媒介変数表示を参照)。における円Cの接線は(円の接線を参照)、
: nを整数として、のときの接線はx軸、またはy軸に垂直な直線で、x軸と囲む面積、y軸と囲む面積を作り得ないので、とします。
としてx切片は、
としてy切片は、
なので、x切片、y切片がともに正であることから、,
よって、として考えれば十分です。
直線とx軸,y軸との交点をP,Qとする(x切片はPのx座標、y切片はQのy座標)と、は、三角形OPQの面積から、半径1の半円の面積を引いたものです。よって、
とおくと、最小のときに最小です。
とすると、においてはより,このとき、
,,x切片:,y切片:増減表は以下。
増減表より、はのとき最小値をとります。このときの状況を右図に示します。Sは黄色、Tは緑色で示しました。
右図で、扇形APQから三角形APQを取り除いた部分Uをピンクで示しました。
なので、扇形APQの面積は円Cのでです。
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