早大理工数学'24年[1]
円C：
に接する直線で、x切片、y切片がともに正であるものを
とする。Cと
とx軸により囲まれた部分の面積をS，Cと
とy軸により囲まれた部分の面積をTとする。
が最小となるとき、
の値を求めよ。
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解答 以下では、平凡に正直に計算して解答します。
円C上の点は、円Cの半径が1 (円の方程式を参照)なので、θを実数として、
と表せます(円の媒介変数表示を参照)。
における円Cの接線
は(円の接線を参照)、
：
のときの接線はx軸、またはy軸に垂直な直線で、x軸と囲む面積、y軸と囲む面積を作り得ないので、
とします。
としてx切片は、
としてy切片は、
なので、x切片、y切片がともに正であることから、
，
よって、
として考えれば十分です。
直線
とx軸，y軸との交点をM，Nとする(x切片はMのx座標、y切片はNのy座標)と、
は、三角形OMNの面積から、半径1の半円の面積
を引いたものです。よって、
とおくと、
最小のときに
最小です。
とすると、
においては
より
，このとき、
，
，x切片：
，y切片：
増減表は以下。
増減表より、
は
のとき最小値
をとります。このときの状況を右図に示します。Sは黄色、Tは緑色で示しました。
右図で、扇形APQから三角形APQを取り除いた部分Uをピンクで示しました。
なので、扇形APQの面積は円Cの
で
です。
注．右図を見れば、
が最小、つまり
のとき、△AMP≡△ANPなので
です。
より、△OAM
，
より、△OAMの面積から半径1の円の面積の
を引いて、 とすることもできます。
別解．上記ではあまりに真正直なので、多少工夫をしてみます。円Cの中心をA
，円Cの接線
との接点をP，接線
とx軸，y軸との交点をM，N，右図で
とします。
です。上記にも書きましたが、
は、△OMNの面積から半円の面積
を引いたものです。右図より、
，
，
のx切片，y切片がともに正であるために
です。 
が最小のとき、△OMNの面積も最小で、このとき分母の
は最大です。
として、
より、
です。
とおくと、
とすると、
より
，
のとき
最大です。
たまたまできた感はありますが、これで、上記注．のようにすれば、
が求められます。
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