早大理工数学'24年[5]
xy平面上において、以下の媒介変数表示をもつ曲線をCとする。
ただし、
とする。
(1) yの最大値、最小値を求めよ。
(2) 
となるt の範囲を求め、Cの概形をxy平面上に描け。 (3) Cをy軸のまわりに1回転してできる立体の体積Vを求めよ。
【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。
解答 曲線Cはカージオイドです。(3)の立体の体積は、回転したときにくり抜ける部分があることに注意しましょう。
xとyをt で微分すると(媒介変数表示された関数の微分法を参照)、
とすると、
または
，よって
とすると、
または
，
のとき、
，
のとき、
，
のとき、
，
のとき、
，
増減表は以下のようになります。
| t | 0 | |  | |  | | π |
 | + | ＋ | 0 | － | － | － | 0 |
| x | 0 |  |  |  |  | | 0 |
 | 0 | ＋ | ＋ | ＋ | 0 | － | 0 |
| y |  | |  | |  | | 0 |
>
(1) 上記の増減表により、yの最大値は
(
のとき)，最小値は
(
のとき) ......[答] 
(2) 上記の増減表より、
となるt の範囲は、
......[答] Cの概形は右図。
(3) Cをy軸のまわりに1回転してできる立体の体積は、
の部分(上記増減表で
の範囲。この範囲のxを以下の積分では
とします)を回転させたものから、
の内側(上記の増減表で
の範囲。この範囲のxを以下の積分では
とします)を回転させたものを除いた体積になります。 ここで、
とおいて置換積分すると、
，
に対しては、y：
のときt：
，
に対しては、y：
のときt：
ここで、被積分関数は、
･･･①
......[答]
【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。
早大理工数学TOP 数学TOP TOPページに戻る
【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。
各問題の著作権は
出題大学に属します。©2005-2024(有)りるらる 苦学楽学塾 随時入会受付中！理系大学受験ネット塾苦学楽学塾(ご案内はこちら)ご入会は、
まず、こちらまでメールを
お送りください。 
，
，
，
を①に代入して、
，
，
，
とする