早大理工数学'25年[1]
複素数平面上で、複素数zが円
の上を動くとき、
を満たす点wの軌跡をCとする。次の問に答えよ。
(1) Cはどのような図形か。複素数平面上に図示せよ。
(2) Cと円
の共有点を求めよ。 (3) Cで囲まれる領域と
の表す領域の共通部分の面積を求めよ。
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解答 複素数平面を参照してください。意外と2次方程式を解くだけの(2)が大変だったりします。
(u，vは実数，
)とすると、
より、
･･･①
より、
①より、
･･･③
よって、Cは楕円
で図示すると右図。 
･･･④です。③，④を連立すると、
･･･⑤共有点は④上に位置するので、
より、 注．座標平面上では
です。 
(3) Cで囲まれる領域と
の表す領域の共通部分は、右図黄色着色部と黄緑色着色部を合わせた部分です。
は、半径1の円の面積の
から1辺1の正方形の面積の
を引いた面積に等しく(置換積分(その2)を参照)、よって、
右図黄緑色着色部の面積
は、半径
の円の面積の
から1辺
の正方形の面積の
を引いた面積に等しく 求める面積は、
......[答]
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各問題の著作権は
出題大学に属します。なお、解答は、
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･･･②
(1) 
(x，yは実数，
)とすると、②より、
，
(x，yは実数，
)とすると、円
は、
，③より
......[答]
を
)
は、