早大理工数学'25年[4]
空間内に原点Oを中心とする半径rの球面Sがある。さらに、半径が1，2，3の球面
，
，
があり、これら4つの球面のうちどの2つの球面も互いに外接している。
，
，
の中心を順に
，
，
とし、O，
，
，
は同一平面上にないとする。さらに、球面Sが球面
，
，
と接する3つの点と、
により定まる点Qは、同一平面上にあるとする。次の問に答えよ。
(1) rの値を求めよ。
(2) 四面体
の体積を求めよ。
【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。
解答 
が底面の△
と垂直であればよいのですが、調べてみると、
となり、そういうことでもないようで、厳しい内積計算を強いられます。
球面S，
，
，
が、どの2つの球面も互いに外接(2円の位置関係を参照)していることから、
球面Sと球面
，
，
との接点を
，
，
とすると、
，
，
は、線分
，
，
上の点であって、球面Sの半径がrであることから
より(ベクトルの1次独立を参照)、
∴ 
......[答]また、
より(内積を参照)、 ∴ 
･･･⑤ 
より、∴ 
･･･⑥ 
より、∴ 
･･･⑦
四面体の底面△
は、①より、3辺が3，4，5の正三角形で、底面積は、
･･･⑧
底面△
に垂直なベクトルを求める必要がありますが、
を計算してみると、 
(∵ ④，⑥，⑦)なので、
ではありません。 そこで、底面△
上の点Hで、
，
となるものを探します。 とおくと、
より、 
より、∴ 
･･･⑫
⑧，⑫より、四面体
の体積は、
......[答]
【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。
早大理工数学TOP 数学TOP TOPページに戻る
【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。
各問題の著作権は
出題大学に属します。なお、解答は、
苦学楽学塾制作です。©2005-2025(有)りるらる 苦学楽学塾 随時入会受付中！理系大学受験ネット塾苦学楽学塾(ご案内はこちら)ご入会は、
まず、こちらまでメールを
お送りください。 
，
，
･･･①
，
，
･･･②
，
，
･･･③
，
，
･･･④
(∵ ④，⑤，⑥，⑦)
(
)
∴ 
･･･⑨
(∵ ④，⑤，⑥，⑦)
(
)
∴ 
･･･⑩
より、
∴ 
･･･⑪
，
，
と同一平面上にあることから、
