早大理工数学'25年[5]
xy平面上の曲線C：
を考え、C上の
以外の点P
における接線を
：
と表す。Cと
の方程式からxを消去して得られるyについての3次方程式
はbを重解としてもつので、もう1つの解を
とする。ただし、bが3重解のときは
とみなす。次の問に答えよ。
(1) 
をkのみの分数式で表せ。 (2) 
をbのみの分数式で表せ。 (3) Cと
の共有点で、そのy座標が
であるものを
とする。aとbが有理数ならば、
と
も有理数であることを示せ。 (4) bが奇数p，qと負でない整数rを用いて
で与えられるとする。有理数
を奇数
，
と整数sを用いて
と表すとき、sをrの式で表せ。 (5) P
が曲線C上の点であることを利用して、C上にx座標とy座標がともに有理数であるような点が無数に存在することを示せ。
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解答 整数と3次方程式、接線に関する問題です。誘導に乗って解答すればよいのですが、細部に注意が必要な問題です。
C：
･･･① xで微分すると、
，
点P
における接線の傾きは
･･･②
点P
は曲線C上の
以外の点であり、
より
です。
接線
：
･･･③
これを①に代入してxを消去すると、
･･･④
がC上の点であることから①より、
･･･⑤
④の左辺を
とおくと、⑤より、
②を用いて、
より、
これより3次方程式
の解は、2重解bと、
･･･⑥(1) ⑥より
なのですが、試験会場では、3次方程式
(④)の
の係数に着目して、解と係数の関係より、
......[答] (2) ②，⑤より、
これより(1)の結果を用いて、
......[答](3) (2)の結果よりbが有理数なら
も有理数です。
は接線
上の点なので③，②より、 これより、a，b，
が有理数なら
も有理数です。 (4) bが奇数p，qと負でない整数rを用いて
で与えられるとすると、(2)の結果を用いて、 
(分母・分子に
をかける)ここで、分子は、
が奇数、
は
が自然数より偶数であり、分子の
は奇数です。分母のカッコ内は、
が奇数、
は、
が自然数より偶数であり、
は奇数です。
よって、
は、
とすれば、奇数
，
と整数sを用いて
と表されます。
......[答] 
のとき、P
は
より曲線C上の点であって、
は有理数であり、
として、奇数
，
と負でない整数
を用いて
の形に表されます。また、
も有理数です。
のとき、曲線C上の点
における接線と曲線Cとの交点を
とし、
，
を有理数であるとすれば、(3)により、
，
も有理数です。
が奇数p，qと負でない整数
を用いて
の形に書けるとすると、(4)により、
も奇数
，
と負でない整数
を用いて
の形に表せます。また、p，q，
，
が奇数であって、
(数列
は、初項
，公差2の等差数列)は、
，
，･･･
の全てと異なり、
は、
，
，･･･，
の全てと異なり、
は、
，
，
，･･･，
の全てと異なります。
よって、数学的帰納法により、
，nを0以上の整数として、曲線C上の点
は、
，
が有理数であり、
，
，･･･，
は全て異なる点です。
自然数nは無数に存在するので、C上にx座標とy座標がともに有理数であるような点が無数に存在します。
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