早大理工数学'26年[1]
次の関数
について、以下の問に答えよ。
(1) 
の極大値Mと極小値mを求めよ。 (2) (1)で求めたM，mに対して、
における
の最大値がM，最小値がmとなるような実数の組
のうち、
が最小となる組を求めよ。
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解答 (2)はひっかけ問題です。極大の位置から極小の位置までと、安直に決めつけないように注意しましょう。3次関数では、
となるのは極大のところだけではありません。
となるのも極小のところだけではありません。
とおくと、
，
より、
(
とおきます、指数関数を参照) ･･･①
とすると、
の増減表は、
が増加するとxも増加するので、
の増減と
の増減は一致し、
が極大のとき
も極大、
が極小のとき
も極小です。
のとき、
，
のとき、
，
極大値
(
のとき)，極小値
(
のとき) ......[答]
(2) 
とすると、①より、
･･･②②は、
となりますが、
(
)です。
のとき、
，
ですが、
において
は増加しています。 ･･･③
とすると、①より、
･･･④重解
以外の解をβとして、解と係数の関係より、
∴ 
④は、
となりますが、
(
)です。
のとき、
，
ですが、
において
は増加しています。 ･･･⑤
以上に基づいて、範囲
における
の最大値、最小値を考えます。(1)の増減の結果と③より、
とすると、最大値はMより大きくなります。(1)の増減の結果と⑤より、
とすると、最小値はmより小さくなります。
この点に注意すると、
の最大値がM，最小値がmになる
の組は、範囲
が
となるx，
となるxをともに含むものとして、以下の場合が考えられます。 (i) 
，
(ii) 
，
(iii) 
，
各々の場合で
が最小になるものを考えます。 (i)，(ii)，(iii)の最小の場合を比較すると(対数関数を参照)、
より、
における
の最大値がM，最小値がmとなるような実数の組
のうち、
が最小となる組は、
......[答]
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出題大学に属します。なお、解答は、
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，
のときに、
は、
となり最小です。
，
のときに、
は、
となり最小です。
，
のときに、
は、
となり最小です。
以外の解を
∴