早大理工数学'26年[4]
とし、
，
，
，･･･を次の関係で定める。
以下の問に答えよ。
(1) 
，
を求めよ。 (2) 自然数nに対して、
は、1または2のいずれかの値をとるような
，
，･･･，
を用いて、 (3) 自然数nに対して、
を求めよ。
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解答 難問です。(2)が(3)のヒントになっているのだろう、と発想するとうまく行きません。
や
が求められても(
も求められますが)、
と
(
)の間が分かりません。
①で
とすると、
，
①で
とすると、
，
①で
とすると、
，
よって、
，
......[答]
(2) 
，
･･･② とやっていくと、
，
･･･(＊)と予測できます。
これをまず証明します。
のとき、②より成り立ちます。
のとき、(＊)が成立すると仮定します。 
，
･･･③
のとき、①で
とすると、③を用いて、 より、
のときも(＊)が成立します。 数学的帰納法により、すべての自然数nについて、(＊)が成立します。(＊)より、 よって、
，
......[答]
(3) (2)をどうやって使うのだろう、と、まず考えると思いますが、(2)と同様のことを
，
，
，･･･についてやろうとすると、
，
，･･･のでき方がバラバラで破綻します。 そこで、問題文中の
や
(Σの公式を参照)の
をヒントとして考えます。上にも書いたように、
と
(
)の間を一つずつ調べても分からないので、
の中を幾つかに分けてまとめることを考えます。まとめるとすると、
，
で区切って、
がどうなっているかを調べ、後で、この和を求めればよい、ということになります。
例えば、
から
までを考えると、 これらの和を考えると、
になっています。これで、漸化式を作れそうです。
から
までの和は
から
までの和であり、
の4は、
から
までの項数
です。
そこで、 
･･･④として
の漸化式を作ります。 
(2項ずつの組で考え、偶数番目と奇数番目に分ける)
(∵ ①でnを
とした)
(
番目から
番目の和を考えている)
注．
を初項と考えることもできます。 ⑤の両辺を
で割ると、 
とおいて、
･･･⑥
･･･⑦とすると、
⑥－⑦より、
よって、数列
は、公比3，初項
の等比数列です。 
，
∴ 
･･･⑧
なので、⑧は
でも成り立ちます。
として確かめると、 ⑧では、
④を用いて、求める和は、 注．確かめてみます。
のとき、 
のとき、
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出題大学に属します。なお、解答は、
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，
(
)
，
，･･･，
をそれぞれ求めよ。
，
(
) ･･･①
とすると、
，
(
番目から
番目の和を考えている)
･･･⑤
......[答]
