アンペール周回積分の法則
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閉曲線Cで囲む面を電流Iが貫いているとき、C上の各点における磁界を
として、
これを、アンペール周回積分の法則と言う。
ビオ・サバールの法則を、電流の流れる経路Cに沿って線積分して得られる式：
ここで、
は、C上の電流素片
の位置する点から、磁界
を考えている点に向かうベクトルです。
ビオ・サバールの法則によれば、電流が流れると、電流の流れる向きを右ねじの進む向きとして、電流経路を磁力線が取り囲むように、右ねじの回る向きに磁界が発生します(この事実を「アンペール右ねじの法則」、単に「アンペールの法則」と呼ぶことがあります)。
①の両辺を1本の磁力線の経路となる閉曲線
に沿って線積分してみます。Cに沿った線素
と区別して、
に沿った線素を
とします(この辺の議論は、岩波講座・現代の物理学2「電磁力学」牟田泰三著の57ページにわかり易い解説があります)。
･･･②
は、
の位置する点から
の位置する点に向かうベクトルです。
ベクトルの公式：
(外積を参照)より、
ここで、曲線C上を
が動き、閉曲線
上を
が動いてできる管状の閉曲面をUとすると、
は閉曲面Uの面積素片
(向きは管状面から外に向かう向きになる)であって、2つの線積分を面積分に置き換えると、
右辺の積分は立体角を表していて、②で、磁力線経路
に沿って線積分している場合には、閉曲面Uが
の始点を含んでいるので、
となります(実は、磁力線に沿う経路でなくても、その経路で囲む面を電流が貫いていればよい)。
∴ 
①の両辺を、磁力線の経路ではなく、電流経路Cを取り囲まないような経路
について線積分する場合には、上記の管状閉曲面が
の始点を含まないので、面積分
はゼロになります。
の始点から曲面Uを見るとき、近い側と遠い側とで面積素片が逆を向き、立体角を表す面積分が消し合うからです。
こうして、改めて磁界
の線積分の経路となる閉曲線をC，線素を
と書くと、
閉曲線Cの内部を貫くように電流Iが流れているときには、
･･･⑤
となります。⑤式をアンペール周回積分の法則と言います。
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