ベクトル・ポテンシャル
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空間内の点Q
におけるベクトル・ポテンシャル
を、領域V内の点P
の電流密度を
，
として、
として定義する。μは、領域Vに充満している物質の透磁率(磁性体における磁界、磁束密度を参照)。点Qにおける磁束密度
について、
電気では、正電荷、負電荷という基本的な単位を考えます。
磁気では、単一磁荷が存在しない(磁気におけるクーロンの法則を参照)ので、磁気双極子を基本的な単位と考えます。円形電流は、磁気双極子と同等の効果を持つので、微小な円形電流を磁気の基礎的な単位と考えることができます(磁気双極子を参照)。
微小な円形電流は微小な渦の効果を持つので、磁界を微小な渦の効果を示すrot (回転)を用いて記述することを考えます。
点P
における電流素片
が、点Q
に作る微小磁界
は、
として、
によって決まります。
この右辺を、電流の経路Cに沿って点Pを動かすことにより、経路Cについて線積分すると、点Qにおける磁界
は、
(線積分は
について行います) ･･･①
の代わりに電流密度
を用いて積分を線積分から体積分に変え(電流密度を各電流経路が貫く曲面で面積分したものが電流Iと直感的に考えてください)、①を、
･･･②
は、領域V内の点P
における電流密度です。
ここで、点Qにおいて、
･･･③
)ことになります。電流密度
はξ，η，ζの関数ですが、
は電流密度を考えている点Pから
を考えている点Qに向かうベクトルで、
だということに注意します。
ここで、rotに関する微分に合成関数の微分法を適用すると、rotはx，y，zに関する微分なので、
，また、
(ベクトル解析の公式を参照)より、
透磁率μの磁性体中では、
なので、②と比較すると、
･･･④
をベクトル・ポテンシャルと言います。
④のように表せるのは、電界
が、電位(静電ポテンシャル)ϕを用いて、
と表せることに相当します。
(ベクトル解析の公式を参照)より、
これは、磁束密度ベクトル
，磁界ベクトル
がどこからも湧き出さず、どこにも吸い込まれないことを意味していて、単一磁荷が存在しないことを表しています(磁性体における磁界、磁束密度を参照)。
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