ベクトル・ポテンシャル


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空間内の点Qにおけるベクトル・ポテンシャルを、領域V内の点Pの電流密度を，として、
として定義する。μは、領域Vに充満している物質の透磁率(磁性体における磁界、磁束密度を参照)。点Qにおける磁束密度について、

電気では、正電荷、負電荷という基本的な単位を考えます。
磁気では、単一磁荷が存在しない(磁気におけるクーロンの法則を参照)ので、磁気双極子を基本的な単位と考えます。円形電流は、磁気双極子と同等の効果を持つので、微小な円形電流を磁気の基礎的な単位と考えることができます(磁気双極子を参照)。
微小な円形電流は微小な渦の効果を持つので、磁界を微小な渦の効果を示すrot (回転)を用いて記述することを考えます。

点Pにおける電流素片が、点Qに作る微小磁界は、として、
ビオ・サバールの法則：
によって決まります。
この右辺を、電流の経路Cに沿って点Pを動かすことにより、経路Cについて線積分すると、点Qにおける磁界は、
　(線積分はについて行います)　･･･①
電流経路が1本の道筋ではなく、電流が領域Vに渡って分布しているときは、電流素片の代わりに電流密度を用いて積分を線積分から体積分に変え(電流密度を各電流経路が貫く曲面で面積分したものが電流Iと直感的に考えてください)、①を、
　･･･②
として一般化できます。被積分関数のは、領域V内の点Pにおける電流密度です。

ここで、点Qにおいて、
　･･･③
というベクトルを考え、rotを取ってみます。rotの微分はx，y，zについて行いますが、被積分関数については、x，y，z座標をξ，η，ζとして、ξ，η，ζについて積分する()ことになります。電流密度はξ，η，ζの関数ですが、は電流密度を考えている点Pからを考えている点Qに向かうベクトルで、だということに注意します。
ここで、rotに関する微分に合成関数の微分法を適用すると、rotはx，y，zに関する微分なので、，また、 (ベクトル解析の公式を参照)より、
　(外積を参照)
透磁率μの磁性体中では、なので、②と比較すると、
　･･･④
と書けることがわかります。③のをベクトル・ポテンシャルと言います。
④のように表せるのは、電界が、電位(静電ポテンシャル)ϕを用いて、と表せることに相当します。
(ベクトル解析の公式を参照)より、
これは、磁束密度ベクトル，磁界ベクトルがどこからも湧き出さず、どこにも吸い込まれないことを意味していて、単一磁荷が存在しないことを表しています(磁性体における磁界、磁束密度を参照)。


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