電磁誘導の法則の導出と微分形


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N回巻かれたコイルを貫く磁束をΦ，コイルに発生する起電力をVとして、
電磁誘導の法則：
電界を，磁束密度をとして、
電磁誘導の法則の微分形：
磁束密度の磁界中で、平行に置かれた導線間を導線で結び、この平行導線と常に垂直でかつ接触を保つように導体棒を速度で滑らせます。導体棒から見て、導体棒内部には、誘導電界が発生します(電流・荷電粒子が受ける力を参照)。誘導電界の向きは、速度から磁束密度の方向に右ねじを回すとき、右ねじの進む向き(右図ではの向き)になります。導体棒の平行導線間の部分の長さをl，とのなす角をθ として、距離lの中に一様な電界ができているときの電圧は (電位・電圧を参照)となり、導体棒には誘導起電力：
　･･･①
が発生します。誘導起電力の向きは誘導電界の向きと同じです。これを表すのがフレミング右手の法則です。このとき、平行導線とそれを結ぶ導線、導体棒でできるコイルの面積は、平行導線に沿った方向に導体棒から導線までの距離をxとして、です。磁束が貫いている有効な面積はです。より、磁界の時間変化がない場合には、①を、
　･･･②
と書くことができます。導体棒を流れる電流には、導体棒の運動を妨げる向きに力が働くので、ここで、変化を妨げる向きの起電力(レンツの法則を参照)であることを示すために、②式のにマイナスをつけます。また、右図ではコイルは1巻きでしたが、N回巻かれたコイルでは、起電力はN倍になり、
　･･･③
が得られます。これが、ファラデーの電磁誘導の法則です。上記では磁界の時間変化がないとして考えましたが、電磁誘導の法則は、磁束密度に時間変化がある場合にも成立することがファラデーの実験により知られています。

③において、コイルの一巻き()の経路Cについて、
また、電界をとして、　(線積分を参照)
Cで囲む任意の曲面Uについて、ストークスの定理より、
また、磁束Φについて、 (面積分を参照)より、

∴
これが任意の曲面Uで成立するために、被積分関数は常にゼロで、
これが、電磁誘導の法則の微分形です。


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