ゲージ変換
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空間内の各点において、電界を
，磁界を
，誘電率をε，透磁率をμとして、電束密度は
，磁束密度は
，また、電荷密度をρ，電流密度を
として、
マクスウエルの方程式：
が成立します。
なお、③のdivをとると、ベクトル解析の公式より、
となるので、①より、
∴ 
･･･⑤
①～④により電磁場の挙動が定まるわけですが、電界
，磁界
に6個の自由度があるので、電荷分布ρと電流密度
を与えるだけでは、電界
，磁界
を一意的に求めることができません。
そこで、ベクトル・ポテンシャル
を用いて、
と表せることに着眼します。
の両辺にdivを作用させると、
となり、②は自動的に満たされます。
を④の左辺に代入すると、
ここで、ϕを適当な関数として、
とおくと、
･･･⑥
となって④も満たされます。
，
を①，③に代入すると、
ベクトル解析の公式より、
，
となるので、
⑦より、
･･･⑨
⑧より、
･･･⑩
⑨，⑩を用いて、スカラー関数ϕ，ベクトル関数
を求めれば、
，
により、磁界
，電界
を求めることができるはずです。
ところが、ここで適当な関数χを持ってきて、
，
･･･⑪
より、
なので、
また、⑪を⑩の左辺に代入してみると、
なので、
(∵ 
)
(⑩の左辺)
また、
，
において、⑪としても、⑥より、
となるので、
，
をϕ，
の代わりに、
，
に代入しても、同じ
，
が得られます。つまり、⑨，⑩，即ちMaxwell方程式には、χを適当な関数として、変換⑪に関して不変である、という性質があります。この変換⑪をゲージ変換、ゲージ変換によって、電界
，磁界
が変わらないことを、ゲージ不変、と言います。
⑨，⑩でも関数χの分だけ自由度が残るので、ϕ，
を確定させるために、⑨，⑩に条件を加えることを考えます。一つは、ローレンツ・ゲージと呼ばれる条件：
･･･⑫
を
とし、⑩のgradのカッコ内をゼロとすると、⑨，⑩は、
･･･⑬
･･･⑭
の各成分
，
，
について同じ形の方程式になります。ここで、
，
とすると、ϕ，
に対する波動方程式です。
もう一つ、クーロン・ゲージと呼ばれる条件：
を付けると、⑨，⑩は、
･･･⑮
･･･⑯
を満たすような
を求め、
，
により、磁界
，電界
を求める、という流れになります。
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･･･① 
･･･② 
･･･③ 
･･･④ 
･･･⑦
･･･⑧
