東北大物理'08年後期[2]

東北大物理'08年後期[2]

電流の担い手が自由電子である抵抗率ρの直方体の導体を考える。導体の3辺の長さはw，

，hであり、各辺に沿ってそれぞれx，y，z軸をとる。導体内の単位体積あたりの自由電子数はn，電子1個の電荷は

(

)である。透磁率は場所によらずすべてμとする。このとき、以下の問いに答えよ。結果だけでなく、考え方や計算の過程も記せ。

問(1) 図1に示すように、導体の面

，

に平板電極を取り付け直流電源とスイッチを接続し、面

，

の中心点O，Pに電極を取り付けてそれぞれに端子

，

を介して電圧計を接続する。端子

は接地され、

の電位を

とする。電源の内部抵抗は無視でき、起電力を

とする。導体の中心からx軸負方向へrだけ離れた位置には、y軸に平行に直線の導線Wが置かれている。ただし、導体の幅wと高さhはrに比べて十分に小さく、導線Wに流した電流が作る磁場(磁界)は導体内で一様と見なせる。また、導体に流す電流がつくる磁場は無視する。導線Wおよび導体内を流れる電流を

，

とし、その値はy軸の正の向きに流れるときを正とする。

以下の枠内の文章に関する(a)～(d)の問いに答えよ。

導線Wに流れる電流

が0の状態でスイッチを入れると、導体内の自由電子は電場(電界)の影響を受け、y軸の(　ア　)方向に_(i)平均の速さvで移動し、導体内に電流

が流れる。このとき、端子

，

間に電位差は生じない。
次に、

を正にすると、導体には(　イ　)軸の(　ウ　)方向に、_(ii)磁束密度の大きさBの磁場が加わる。すると、この磁場からローレンツ力を受けた自由電子が面(　エ　)に蓄積することにより、この面は負に、対向する面は正に帯電する。この帯電によって導体内に電場が発生する。その向きは(　オ　)軸の(　カ　)方向である。この電場が自由電子に及ぼす力は最終的にローレンツ力とつり合い、導体内の自由電子の移動は電流

が0のときと同じようになる。結果として、_(iii)端子

に電位

が生じる。

(a) 文章中の(　ア　)～(　カ　)に適する語句または記号を、(　ア　)(　ウ　)(　カ　)については正、負から、(　イ　)(　オ　)についてはx，y，zから、そして(　エ　)については

，

から選び、答えよ。

(b) 下線部(i)について、vを

，q，n，w，

，hから必要なものを用いて表せ。

，μ，rを用いて表せ。

(d) 下線部(iii)について、

を

，

，μ，r，n，q，

，h，wの中から必要なものを用いて表せ。

問(2) 図1の回路において、端子

から導体へ接続する電極の取り付け位置だけが、図2のように面の中心点Pからy軸の正方向に

ずれた場合を考える。この回路を使って、スイッチを入れた状態で、導線Wに流す電流

を変化させて端子

の電位

を測定した。

(a) 導体の抵抗率ρを、

，

，w，

，hを用いて表せ。

(b)

のときに観測される

を、w，

，h，

，

，ρの中から必要なものを用いて表せ。

また、

となるときの

をw，l，h，r，

，μ，ρ，n，qの中から必要なものを用いて表せ。

と

の関係を、縦軸および横軸との交点がわかるように解答用紙のグラフに実線で描け。

(d) 電源を逆向きに接続し、

を負の値にしたときの

と

との関係を、問(2)(c)の結果との関係がわかるように解答用紙の同じグラフに破線で描け。

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解答　様々なところでセンサーとして実用化されているホール効果に関する問題です。ホール効果の起電力はしっかり理解していないと勘違いし易いので注意してください。問2は目新しいテーマで、おそらく微細部品の位置検出などに用いられている技術をネタにしたのだろうと思います。

問(1)

として導体に電流を流すとき、自由電子は負電荷を持っているので、その運動方向は電流の向きと逆向きになります。本問では、y軸正方向に電流が流れるので、自由電子の運動方向はy軸負方向です。

とすると、右ねじの法則により、胴体部分にz軸負方向の磁場ができます(電流の作る磁界を参照)。この磁場により自由電子はローレンツ力を受けます。ローレンツ力の向きは、フレミング左手の法則で、左手中指を電流の方向(y軸正方向)、人差し指を磁場の方向(z軸負方向)として、左手親指の向く方向(力の向き)なので、x軸負方向です。この向きの力を受けた自由電子は、面