東北大物理'09年後期[2]
図1のように質量m，正の電気量qをもった点電荷が、電気を通さない長さRの糸で原点Oにつなげられ、xy平面内を円運動している。糸は伸び縮みしないものとし、点電荷にかかる重力の影響は無視できるものとする。以下の問いに答えよ。解答は解答用紙の所定の場所に記入せよ。また、結果だけでなく、考え方や計算の過程も記せ。
問(1) はじめに、点電荷がx軸上の点
を速さ
で通過した瞬間に、図2のように大きさEの一様な電場(電界)をx軸の正の方向にかけた。(a) 点
の電位を0として、点
の電位を、E，q，Rの中から必要なものを用いて表せ。 (b) 点電荷は、糸がたるむことなく運動を続けた。点電荷が点
を通過したときの速さをvとして、点電荷が点
にあるときと点
にあるときの間のエネルギー保存の式を、E，m，q，R，
，vの中から必要なものを用いて表せ。 (c) 点電荷が点
にあるときの糸の張力Fを、E，m，q，R，vの中から必要なものを用いて表せ。 (d) 点電荷が点
にあるときに糸がたるまないためのEの条件を、m，q，R，
の中から必要なものを用いて表せ。 
問(3) 次に、図4に示すように、磁場の大きさを時刻
から時刻tの関数として変化させた。磁場を変化させている間も、糸がたるむことなく点電荷は原点Oの周りを円軌道を描いて回転し続けた。(a) 点電荷の円軌道を貫く磁束の大きさが時間変化すると、電磁誘導によって円軌道に沿った誘導起電力が生じる。これは、同じ経路の導線に生じる誘導起電力と同じと考えてよい。この誘導起電力を、点電荷が円軌道に沿って1周する間に得る電位差と考えると、円軌道上で受ける誘導電場の強さを求めることができる。時刻
から
の間に円軌道に沿って生じる誘導電場
を、
，
，m，q，R，
，Tの中から必要なものを用いて表せ。
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解答 電場、磁場それぞれの中で電荷がどういう円運動をするか、という問題です。糸がたるまない条件は、「糸の張力≧0」です。問(3)の
，Tに説明がないのがやや不親切な気がします。なお、不等速円運動を参照してください。
問(1)(a) 2点
，
は電場の方向に距離
離れているので、電位差
は、 
......[答](b) 点
を位置エネルギーの基準として、点
の位置エネルギーは、 点
における運動エネルギーは
，点
における運動エネルギーは
2点でのエネルギー保存の式は、 
......[答] ･･･①(c) 点
において、糸の張力Fと正電荷が受けるクーロン力
(電界を参照)の合力が向心力となるので、この点における正電荷の法線方向の運動方程式は、 
･･･②∴ 
......[答] (d) ①より、
②に代入して、
糸がたるまない条件は、
より、 ∴ 
......[答]
問(2) 正電荷は円運動の接線方向に力を受けないので、速さ
のまま等速円運動を続けます。正電荷が磁場より受ける力の大きさは
で、円の中心を向く方向に働きます。糸の張力をFとして、円運動の運動方程式は、 よって、正電荷が円運動を続けるためには、
より、 ∴ 
......[答]
問(3)(a) 磁束密度が
のとき、円軌道を貫く磁束
は、 
においては、正電荷が円軌道を一周する間の誘導起電力
の大きさは、時間Tの間に磁束密度が
から
まで変化するので、
(図4の直線の傾き)より、長さ
の円軌道上では電場は一様で、誘導電場(の大きさ)
は、
より、 
......[答]
においては、レンツの法則より、紙面を表から裏に向かう磁場が増大するので、誘導電場は磁場を減少させようとする方向、つまり、裏から表に向かう磁場を作ろうとする方向で、図3の円で反時計回りの方向です。(b) 問(3)(a)の結果に見るように、
において、円の接線方向反時計回りに一様な電場ができていて、正電荷はこの方向に一定の力
を受けるので、正電荷の円の接線方向の速さは一定の割合で増加します(一種の等加速度運動のようになります)。正電荷の加速度をaとして、接線方向の運動方程式は、 
においては、磁場の変化がなく誘導起電力は0で正電荷に接線方向には力が働かず、正電荷の接線方向の速さは
のままです。
においては、磁場の変化率は
での変化率の
です。正電荷の速さの変化率も
で、今度は速さは一定の割合で減少して
に戻ります。
においては、磁場は変化せず、正電荷の速さは
のままです。
以上より、正電荷の速さvは右図実線のように変化します。(c) 問(3)(a)の
において糸がたるまずに(張力
)円運動していた、ということは、時刻
において速さ
の正電荷が点
から円運動を始めた時点では糸に正の張力が働いていたということです。点
に戻ったときに速さが
に戻っているので、
においては、正電荷に正の張力が働いています。これがなくなると、正電荷に働く向心力が弱くなり、円運動の半径が増大し、円軌道の中心も移動します。ですが、
においても、正電荷は円運動を続けます。よって、(イ) ......[答]
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問(2) こんどは、図3のように、電場の代わりに、紙面に垂直で磁束密度
の一様な磁場(磁界)を、紙面の表から裏へ向かう方向にかけた。糸がたるむことなく点電荷が円運動を続けるための
の条件を、m，q，R，
の中から必要なものを用いて表せ。
から
の間の速さvを時刻tの関数として解答用紙のグラフに図示せよ。時刻
におけるvの値も、
，
，m，q，R，
，Tの中から必要なものを用いて縦軸上に表せ。
(c) 点電荷が時刻
に点
を通過し、その瞬間に糸から切り離されたとする。その後の点電荷の軌道として適切なものを図5の(ア)～(エ)の中から1つ選び記号で答えよ。ただし、図5中の点線は糸から切り離される前の点電荷の軌道を示す。
の方が低く、点
の電位
は、
時刻
における速さ
は、
