横浜国大物理'09年[2]
図に示すように、起電力の電池E，抵抗値の抵抗R，電気容量のコンデンサー，電気容量のコンデンサー，自己インダクタンスのコイルL，スイッチ，により構成された回路がある。初期状態ではスイッチ，は開いていて、コンデンサーとには電荷(電気量)がたまっていないものとする。また、電池とコイルの内部抵抗は無視できるものとする。以下の文章の空欄を埋めよ。

(1) スイッチを閉じた直後に抵抗Rを流れる電流の大きさは　ア　[A]となる。また、十分に時間がたった後では、コンデンサーに蓄えられる電荷は　イ　[C]，コンデンサーに蓄えられるエネルギーは　ウ　[J]となる。
(2) 十分に時間がたった後でスイッチを開放し、スイッチを閉じたところ、コイルの両端の電圧、各コンデンサーの両端の電圧、およびそれらを流れる電流は周期的に振動した。この振動の周波数は　エ　[Hz]である。
(3) スイッチを閉じた直後は、コンデンサーの極板間の電圧の大きさは，コンデンサーの極板間の電圧はであるから、コイルLの両端の電圧の大きさは　オ　[V]と　オ　[V]の間を周期的に振動する。スイッチを閉じてから、コイルLの両端の電圧が最初にになるまでの時間は　カ　[s]となる。
(4) コイルLの両端の電圧がになった瞬間を考える。コンデンサーに蓄えられている電荷は　キ　[C]，コンデンサーに蓄えられている電荷は　ク　[C]となり、コンデンサーに蓄えられているエネルギーは　ケ　[J]，コンデンサーに蓄えられているエネルギーは　コ　[J]である。回路に蓄えられる電気エネルギーの総和は一定に保たれるので、コイルLに蓄えられているエネルギーは　サ　[J]となり、コイルLを流れる電流の大きさは　シ　[A]である。
(5) コンデンサーに蓄えられる電荷は周期的な時間変化をするが、コンデンサーに蓄えられる電荷がになった瞬間に、コンデンサーに蓄えられている電荷は　ス　[C]である。このとき、コイルLの両端の電圧の大きさは　セ　[V]，コイルLを流れる電流の大きさは　ソ　[A]である。


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解答　コンデンサーとコイルに関する回路の問題ですが、単なる回路の問題とは言えない、慎重に考えるべき点のある問題です。
(2)(3)が見慣れない設定で悩みますが、問題文の(オ)の書き方がヒントになっています。
(2)では、最初にとの間の部分の電荷が0でないので、とは直列ではなく、L両端、即ち、と両端の電圧をV，が蓄える電荷をQとして、とを直列として考えた合成容量 ()との間に、という関係は成立しません。
どういうことかと言うと、右図で、に最初電荷が蓄えられていて、と両端の電圧をVとしたときのの電荷をQとすると、の側の極板の電荷は、電荷保存より、
∴
両端の電圧と両端の電圧の和がVになるので、
∴
と直列の合成容量を用いて、
つまり、とが直列であるときには、とには等量の電荷が蓄えられるはずなのですが、との間に孤立している電荷があると、電圧がだけずれるので、直列の公式通りにならなくなります。
ですが、は定数なので、振動回路においては、との間に孤立している電荷は振動中心と振幅を変化させても、周波数には影響を与えません。従って、(3)の振動回路では、とを直列として合成容量を考え、周波数を求めることができます。

(1)(ア) を閉じた直後、は導通したのと同じで、電流の大きさは、オームの法則より、
......[答]
(イ) 十分時間が経過すると、電流は流れなくなりR両端の電圧はで、に蓄えられる電荷は、
......[答]
(ウ) に蓄えられるエネルギーは、　(コンデンサーの過渡現象を参照)
......[答]

(2)(エ) ，直列の合成容量をとして、

振動の周波数は、

(3)(オ) スイッチを閉じた直後、問題文より、コイルLの両端の電圧の大きさは (問題文の図のL上側が高電位)で、コイルL両端の電圧は、との間で振動します。
E ......[答]
(カ) スイッチを閉じてから、コイルLの両端の電圧が最初にになるまでの時間は、単振動の周期のに等しく、
......[答]

(4)(キ) L両端の電圧がになった瞬間に、に蓄えられている電荷をとして、電荷保存より、の上側の極板には、の電荷が蓄えられています。このとき、両端の電圧と両端の電圧が等しくなるので、
∴
......[答]
(ク) に蓄えられている電荷は、
......[答]
(ケ) に蓄えられているエネルギーは、
......[答]
(コ) に蓄えられているエネルギーは、
......[答]
(サ) エネルギー保存より、Lに蓄えられているエネルギーは、
......[答]
(シ) このときの電流の大きさをとして、Lに蓄えられているエネルギーは、
　(自己誘導を参照)
∴
......[答]
注．この電流の大きさが、電流の単振動の振幅であり、電流の最大値になります。また、この問題では、電流の最大値Iについて、 (最初のの静電エネルギー)とならないので注意してください。

(5)(ス) に蓄えられる電荷がになった瞬間に、に蓄えられている電荷は、電荷保存よりです。
......[答]
(セ) 両端の電圧はで、L両端の電圧の大きさは、両端の電圧の大きさに等しく、
......[答]
(ソ) に蓄えられているエネルギーは，に蓄えられているエネルギーはで、コイルに流れる電流をとして、エネルギー保存より、
∴
......[答]


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