京大物理'13年[3]

京大物理'13年[3]

次の文章を読んで、　　に適した式か値を、{　　}からは適切なものを選びその番号を、それぞれの解答欄に記入せよ。なお、　　はすでに　　で与えられたものと同じものを表す。また、問1，問2については、指示にしたがって、解答をそれぞれの解答欄に記入せよ。

図1に示すように、ピストンWと仕切板Dによって内部の領域を分けられたシリンダーがある。シリンダーは固定されており、ピストンWと仕切板Dは摩擦なしに動くことができる。ピストンWと仕切板Dの間を領域Aとし、仕切板Dとシリンダー右端の間を領域Bとする。領域Aと領域Bには、異なる理想気体がそれぞれ密閉されている。定積モル比熱を

，気体定数をRとすると、領域Aと領域Bに密閉さている気体の

の値は、それぞれ

と

である。シリンダーの外壁とピストン，仕切板は、すべて断熱材でできている。領域Bの気体は、シリンダーの右端に取り付けられた温度調節器Cによって加熱または冷却される。領域Bの気体全体の温度は、すみやかに温度調節器の設定温度になるものとする。なお、温度調節器の電源を切ると、領域Bは断熱環境となる。さらに、シリンダー内部にはストッパーSが設けられており、仕切板がストッパーより右側に動くことはない。仕切板がストッパーの位置にあるときの領域Bの体積は

である。ピストン、仕切板、ストッパー、温度調節器の体積は無視できるものとする。また、ピストンの左側は常に大気圧となっており、その値は

である。
最初、領域Aの気体の圧力、体積、温度は、それぞれ

，

であり、領域Bの気体の圧力、体積、温度は、それぞれ

，

であった。この状態を初期状態とする。このとき領域Aの気体と、領域Bの気体のモル数はそれぞれ、　あ　と　い　である。初期状態から以下の(1)～(4)に示す操作を行った。

(1) 温度調節器で領域Bの気体を加熱し、温度を

から

までゆっくりと上昇させた。このとき、領域Bの気体の内部エネルギーの変化は　う　であり、領域Bの気体がした仕事は　え　であるから、領域Bの気体が温度調節器から吸収した熱量は　お　である。

理想気体の断熱変化では、

は一定である。ここでγは比熱比と呼ばれ、定圧モル比熱を

とすると、

で定義される。理想気体では、

と

の差

が　か　に等しいことを考慮すれば、領域Aの気体の比熱比は　き　であり、領域Bの気体の比熱比は　く　である。
なお、以下の解答では、領域Aの比熱比　き　をα，領域Bの気体の比熱比　く　をβ と表記せよ。

(2) (1)で行った操作に引き続き、温度調節器で領域Bの気体の温度を

に保ちながら、ピストンWに外力を加え、ゆっくりと右方へ押し込んでいった。仕切板DがストッパーSに接触したとき、ピストンWを押し込む操作を中断し、そのままの状態で保持した。このとき領域Aの気体の体積は　け　である。

問1　(2)で行った操作で、外力が気体にした仕事を求めよ。ただし、領域Bの気体が温度調節器を通じて外部に放出した熱量をQとする。導出の過程も合わせて示せ。

(3) (2)で行った操作に引き続き、さらにピストンWを押し込んでいくと、領域Aの気体の体積が

となった。この時点でピストンWを押し込む操作を中断し、そのままの状態で保持した。このとき、領域Aの気体の圧力は　こ　である。

問2　(2)で行った操作の開始から(3)で行った操作の終了までの間において、領域Aの気体と領域Bの気体の状態変化を、横軸を体積、縦軸を圧力として図示せよ。また、領域Bの気体がされた仕事に相当する領域を図中に斜線で示せ。ただし、各操作の過程で状態の変化があるときは、変化の進む方向に矢印を付し、その変化の始状態と終状態における体積と圧力を図中に記入せよ。

(4) (3)の操作に引き続き、温度調節器で領域Bの気体を加熱した。仕切板D がストッパーから離れかけた瞬間に温度調節器の電源を切り、領域Bを断熱環境とした。その後、領域Aの気体の圧力が大気圧

に等しくなるまで、ゆっくりとピストンWを左方に移動させた。このとき、領域Bの気体の体積は　さ　であり、そのときの領域Aの気体の体積{し：①より大きい　②より小さい　③と等しい}。また、この過程で領域Aの気体のした仕事は、領域Bの気体のした仕事{す：①より大きい　②より小さい　③と等しい}。気体の仕事に関するこのような性質は、熱機関における効率を考える上で重要である。

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解答　比熱比が違うと断熱変化のp-V図がどう違うのかという趣旨の問題です。興味深い問題ですが、(け)以降はほぼ正解者ゼロと想像します。物理では、問題文を読まずに多分こういう問題だろうと決めつけて解答する豪傑がいますが、本問は、そうした豪傑でもなければ解けないでしょう。難問だからではなく、問題文が不備だからです。
(1)の問題文に、温度調節器で気体Bを加熱している間、気体Aの温度、またピストンや仕切板をどうしていたのかの記述がありません。ここでは、大気とのつり合いが保たれていて、気体Aの温度は変化しない、つまり、気体Aの状態変化はなく、気体Bが定圧変化をしたものとして解答します。(4)問題文の{す}の前の「この過程」も、どの過程を指すのかわかりませんが、ここでは温度調節器の電源を切った後の過程として解答します。試験会場で受験生はどうしたのでしょうか？
問1では、大気も気体Aと気体Bに仕事をしていることに注意します。

(1) 気体Aのモル数を