京大物理'22年前期[1]
次の文章を読んで、に適した式または数値を、それぞれの解答欄に記入せよ。なお、はすでにで与えられたものと同じものを表す。また、問1，問2では、指示にしたがって、解答をそれぞれの解答欄に記入せよ。ただし、重力加速度の大きさはとし、摩擦や空気抵抗、小球の大きさと回転の影響は無視し、衝突はすべて完全弾性衝突とする。

図1のように、鉛直な壁があり、水平な床面から高さRの位置より上には点Oを中心とする半径Rの半円筒状のくぼみがある。半円筒の下端に質量Mの小球Aが静止しており、左から質量mの小球Bを速さvで水平に衝突させる。衝突によって小球Aは水平方向の速さVを得て、半円筒に沿った滑らかな運動を開始する。運動はすべて同一鉛直面内(すなわち、図1の紙面内)で起きているものとする。

(1) 図2のように小球Bが速さで左向きに跳ね返されるとき、運動量保存の法則から
が、力学的エネルギー保存の法則から
が成立するので、m，M，Vを用いて，と表せる。これより、小球Bが左向きに跳ね返される条件はMとmを用いてと表せる。さらに、小球Bが床面に落下する地点と壁の距離も、m，M，V，R，を用いてと表せる。
のとき、小球Aは半円筒の中心Oと同じ高さまで登る。つまり、のとき、小球Aは半円筒の中心Oよりも低い高さまで登ったのちに半円筒に沿って下ってくる。そして半円筒の端から放物線を描いて床面に落下する。ここで、小球Aの落下地点が小球Bの落下地点と同じであるとき、Mとmの関係はと表せる。

(2) 図3(a)のように、小球Aが半円筒の中心Oよりも高い位置まで登り、角度θのときに半円筒の壁から離れるとする。離れる瞬間における小球Aの速さは，R，θを用いてと表される。このとき、衝突直後の速さVも同様に，R，θを用いてと表せる。
次に、図3(b)のように、半円筒の壁から離れた小球Aが、はじめに静止していた位置(半円筒の下の端の位置)に落下し、そこで跳ね返って床面に落下する場合を考える。小球Aが跳ね返る面は水平と見なす。
小球Aがはじめに静止していた位置に落下するのはの場合のみである。これを用いると、はじめの位置に落下する直前における小球Aの水平方向左向きの速さは、とRを用いてと表せ、鉛直方向下向きの速さもとRを用いてと表せる。そして、小球Aが床面に落下する地点と壁の距離は，R，，を用いてと表せる。

問1　下線部で述べたように、小球Aがはじめに静止していた位置に落下するのはの場合のみであることを示せ。

(3) 速さVが十分に大きい場合を考える。小球Aは図4(a)のように半円筒の上端から水平投射され、壁から距離の床面に落下する。一方、落下したときの速さと角度で、落下した位置から小球Aを逆向きに投げ返すと、図4(b)のように半円筒を逆向きに周り、下端から速さVで水平投射され、壁から距離離れた位置で床面に落下する。

問2　これら2つの距離の比は、速さVが大きくなるにつれてに近づく。その理由を簡潔に述べよ。



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解答　円運動、衝突、水平投射の融合問題です。

(1) 衝突前の運動量は、小球Bの右向き運動量，衝突後の運動量は、小球Bの左向きの運動量，小球Aの右向きの運動量です。運動量保存より、
　･･･①　 ......[ア]
衝突前の運動エネルギーは、小球Bの，衝突後の運動エネルギーは、小球Bの，小球Aのです。力学的エネルギー保存より、
　･･･②　 ......[イ]
①より　･･･③
②に代入すると、
整理してで割ると、
　∴ ......[ウ]
③より、 ......[エ]　･･･④
左向きに跳ね返される条件は、より、 ......[オ]
鉛直方向にR落下する時間をとして、等加速度運動の公式より、
　∴ 　･･･⑤
は、水平方向に速さで時間進む距離として、
......[カ]
衝突直後の小球Aの運動エネルギーは，中心と同じ高さOのときの小球Aの位置エネルギーは，力学的エネルギー保存より、
　∴ ......[キ]
のとき、小球Aが衝突地点に戻ってきたときの速さはVです。小球Aの落下地点が小球Bの落下地点と同じである条件は、より、④を用いて、
　∴ ......[ク]

(2) 角度θのとき、小球Aが壁から離れるので小球Aが壁から受ける垂直抗力は0です。円運動する小球Aに働く向心力は小球Aに働く重力のOに向かう成分で右図より，円運動の運動方程式(不等速円運動を参照)は、
　･･･⑥　∴ ......[ケ]
角度θのとき、運動エネルギーは，衝突地点からの高さは右図よりで位置エネルギーは，衝突地点との力学的エネルギー保存より、
⑥より、　∴ ......[コ]
はじめの位置に落下する直前における小球Aの水平方向左向きの速さ，鉛直方向下向きの速さは、角度θのときの小球Aの速度の水平方向成分が，鉛直方向成分が下向きを正としてであって、，また、等加速度運動の公式より、
，，として、 ......[サ]
　∴ ......[シ]
はじめの位置に落下して完全弾性衝突後の小球Aの速度は下向きを正としてです。床に落下するまでの時間をとして、等加速度運動の公式より、
　∴ ()
床面に落下する地点と壁との距離は、速さで時間進む距離として、
......[ス]

問1　(2)の図より、角度θのときに壁から離れて、水平方向に、速さで時間，距離だけ移動する間に、鉛直方向に、初速度で落下してはじめの位置に来ます。等加速度運動の公式より、
　･･･⑦
また、　∴
[ケ]の結果を用いて、
これらを⑦に代入して、
整理して、



∴
よって、小球Aがはじめに静止していた位置に落下するのはの場合のみです。

(3) 半円筒の上端から水平投射する場合、高さ落下する時間は、
　∴
最上端での速さをとすると、最上端と衝突直後との力学的エネルギー保存より、
　∴
距離は速さで時間進む距離として、
最初の位置から水平投射する場合、高さR落下する時間はで、距離は速さVで時間進む距離として、⑤を用いて、

問2　以上より、のとき、
となるのですが、理由を簡潔に述べよ、ということなので、であることから、
Vが大きくなると、高さの違いによる初速度の違いがなくなり、水平到達距離が水平投射の落下時間に比例し、落下時間が高さの乗に依存し、高さの比が3倍なので、到達距離の比はに近づく ......[答]



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