量子力学の基礎(その2)からのつづきです。
シュレーディンガー方程式を使って水素原子を調べてみましょう。詳細な計算は大変なので割愛しますが、大学進学後に確かめてください。
水素原子では、電子が原子核の回りを周回するようなモデルを想定するので、ボーアの原子模型と同様に、角運動量
を考えます(面積速度を参照)。
水素原子の場合、位置エネルギーは、クーロン力の位置エネルギー
(k：クーロン力の比例定数，e：電気素量)です。電子が従うシュレーディンガー方程式は、
水素原子では球対称な状況を扱うので、球座標系で考えます。球座標系では、ラプラス演算子Δは、
になる(直交座標系・円筒座標系・球座標系を参照)ので、シュレーディンガー方程式は球座標系では、
となります。変数分離して
とおいて代入すると、
で割り
をかけると、
左辺はrのみの関数、右辺はθ，φのみの関数なので、この値は定数で、これをLとおくと、
･･･②
･･･③
を考えます(面積速度を参照)。
量子化の原則
を適用し、球座標への変換を行うと、
→
とおいて③に代入すると、
で割り
をかけると、
左辺はθのみの関数、右辺はφのみの関数なので、この値は定数で、これを
とおくと、
･･･④
･･･⑤
となりますが、
より、
が必要でMは整数に限られます。
④は、
とおくと、
より、
より、
として、
この解は、
(
)のとき、ルジャンドルの陪多項式
(
)と呼ばれる関数になることがわかっています。
などとなっています。
③の解：
(
は全確率が1となるように決まる定数)を球面調和関数と言います。
さて、
として、②は、
この解は、
，
，として、
，
の値はボーアの原子模型における値と一致します。ここで、
はラゲールの陪多項式と呼ばれる多項式で、
などとなっています。
水素原子の電子が従う波動関数は、球面調和関数とラゲールの陪多項式をかけたものになります。
ラゲールの陪多項式では、
，つまり、
という条件が付きます。
ルジャンドルの陪多項式では、lに対して、
という関係(
通りのMの値が可能で、
重に縮退している、と言います)があります。
水素原子(電子が1個の他の原子も同様です)では、電子について、
のとき
(1s軌道)のみ可能で、このとき
のみ。
のとき
が可能で、
のとき
が可能で、
(3s軌道)なら
のみ、
(3p軌道)なら
，
(3d軌道)なら
のとき
が可能で、
(4s軌道)なら
のみ、
(4p軌道)なら
，
(4d軌道)なら
，
(4f軌道)なら
nを主量子数、lを方位量子数、Mを磁気量子数(上記ではmを電子の質量としていますが、専門書では、磁気量子数をmで表すことが普通です)と言います。電子の状態は、
の組で決まりますが、1922年にドイツのシュテルンとゲルラッハが行った実験によると、同一の角運動量を持っているはずの銀粒子を磁場中を通過させるとビームが2つに分かれるのです。この結果は、同一の
であっても、2つの状態に分かれる、ということを意味していました。
後に、電子にスピンという性質があり、上向きのスピン、下向きのスピンの2つの状態を持っていて、磁場中を通過させると、スピンの違いによってビームが2つに分かれることが分かりました。つまり、1組の
が2つの状態を持つのです。また、主量子数、方位量子数、磁気量子数、スピンによって電子の状態は1つに定まり、かつ、1つの原子で複数の電子が同一の状態になることはなく、1つの状態の電子は1個しかない(パウリの排他律と言います)こともわかりました。
水素原子の場合、
のK殻、
のL殻、
のM殻、
のN殻、というように、主量子数によって異なる半径の軌道を持っています。
K殻には1s軌道に2個の電子が入ります。L殻には2s軌道に2個，2p軌道の3通りの状態に6個の電子が入り計8個の電子が入ります。M殻では、3s軌道に2個、3p軌道の3通りの状態に6個、3d軌道5通りの状態に10個、計18個の電子が入ります。同様に考えて、N殻には、
個の電子が入ります。
水素原子以外でも同様の電子の入り方をするとして、原子核は電子と同じ個数の陽子(正電荷)を持っていて、陽子の数が原子番号になっています。各原子は、エネルギーの低い順に主量子数の小さい軌道から順に電子が入って行きます。
K殻では、
1s軌道に、電子が1個入る水素H(原子番号1)と2個入るヘリウムHe(原子番号2)，
さらにL殻では、
2s軌道に、電子が1個入るリチウムLi(原子番号3)と2個入るベリリウムBe(原子番号4)，
さらに、2p軌道に電子が1個～6個入る、ホウ素B(原子番号5)，炭素C(原子番号6)，窒素N(原子番号7)，酸素O(原子番号8)，フッ素F(原子番号9)，ネオンNe(原子番号10)，
さらに、M殻では、
3s軌道に電子が1個入るナトリウムNa(原子番号11)，2個入るマグネシウムMg(原子番号12)，
さらに、3p軌道に電子が1個～6個入る、Al(13)，Si(14)，P(15)，S(16)，Cl(17)，Ar(18)，
この後は、3d軌道に電子が入る原子ではなく、3d軌道よりエネルギーが低い4s軌道の方に電子が詰まっていきます。
N殻では、
4s軌道に電子が1個入るK(19)，2個入るCa(20)と続き、ここからは複雑な入り方をしますが、
4s軌道に電子が2個入り、さらに、3d軌道に電子が1個入るSc(21)，2個入るTi(22)，3個入るV(23)，
その次は、4s軌道の電子が1個で3d軌道に電子が5個入るCr(24)が続き、
再び4d軌道に電子が2個、3d軌道に電子が5個のMn(25)，6個のFe(26)，7個のCo(27)，8個のNi(28)，
4s軌道の電子が1個、3d軌道の電子が10個のCu(29)，これでM殻は満員になります。
次は、
4s軌道に2個のZn(30)、
さらに、4p軌道に1個～6個入るGa(31)，Ge(32)，As(33)，Se(34)，Br(35)，Kr(36)と続いた後は、
さらに、5s軌道に電子が1個入るRb(37)，2個入るSr(38)，
さらに、4d軌道に1個入るY(39)，2個入るZr(40)という具合に不規則な入り方をするようになります。必ずしも主量子数の大きい方が大きなエネルギーになるとは限らないためです。
以上により、各殻が満員になる、He，Ne，3p軌道、4p軌道まで詰まるAr，Krが安定な原子であること、外殻に電子が1個だけのLi，Na，Kが外殻電子を放出しやすく反応性が高いこと、同様に1個不足している状況のF，Cl，Br，Iのようなハロゲンも反応性が高くなることなど、水素原子中の電子の挙動が解明されたことにより、周期律表が説明できました。
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