量子力学の基礎からのつづきです。
質量m,角振動数ωのばね振り子のばね定数kを
として位置エネルギーを
と考えたものを調和振動子といいます。
ここで、1次元の調和振動子の扱いが、古典論と量子論とでどう違うのかを考えます。
まず、古典論においては、力学的エネルギーが保存され一定値Eであるとして、
とおくと、
初期条件を
で
,
として、
解は単振動ですが、Aは任意の正数をとり、エネルギーEのとる値は連続です。
量子論を用いて、結晶中で各原子が調和振動子として振動している状況を考えます。古典論の@で
として、
の置き換えを行う(量子力学の基礎を参照)と、シュレーディンガー方程式は、
・・・A となります。
とおくと、
これをAに代入して、
とすると、
で割ると、
・・・B
ここで、Bを解くための準備をします。
・・・C として定義されるエルミート多項式
を考えます。最高次の係数が
であるn次の多項式になります(後述のI式を用いて数学的帰納法で証明できます)。 ・・・(*)
などとなっています。Cで
として、
ここで、
・・・E を、数学的帰納法で示します。
のとき、左辺は、
右辺は、
よって、左辺=右辺で、成り立ちます。
のとき、Eが成り立つとして、
の両辺をuで微分して、
のときにもEが成立します。よって、すべての自然数nでEが成立します。
EをDに代入して、
・・・F 一方で、
・・・G ここで、
の定義C:
より、
Gに代入して、

・・・H F,Hより、
∴
・・・I Hを微分して、
Iより、
∴
・・・J これが、エルミート多項式が満たすべき微分方程式です。
ところで、
,つまり、
のとき、
でポテンシャル障壁が高くなるので、電子は無限の彼方には行きません。つまり、Bにおいて、
,
そこで、
のとき、
となるような関数として、
を考えます。これより、
とおいて
,
を調べると、、
Jに代入して、
これより、
について、
・・・K BとKを比較して、
,つまり、
(
)であれば、
となることがわかります。
これより、エネルギーEはとびとびの値を取ります。各
が固有値です。プランクの量子仮説は、シュレーディンガーの理論の結果を先取りしたものになっています。
に対応する固有関数は、
となります。元のシュレーディンガー方程式Aの解は、
です。ここで、異なる固有値に対する固有関数同士の積の積分を調べます。
は何回微分しても、(uの多項式)×
の形になるので、
のとき上式中括弧内第1項は0に近づきます。よって、
・・・L さらに部分積分を繰り返して行くと、
のときには、(*)に書いたように、
はk次の多項式なので
回微分した時点でゼロになり、
となります。またjとkを入れ替えて考えると、
のときも
です。つまり、
を成分とする行列の非対角成分はゼロです。対角成分は、
のとき
は最高次の係数が
であるj次の多項式で、部分積分を
回行った後、
(
は
をj回微分するところから出てきます)となるので、Lで
としてさらに
回部分積分を続けると、
よって、
を、
(
のとき),
(
のとき)として定義(クロネッカーのδと言います。
を要素とする行列は単位行列です)すると、
この関係を固有関数の直交性と言います。全確率:
を満たす、Aの規格化された解は、
より、
となります。
量子力学の基礎(その3)につづく。
【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。
物理基礎事項TOP 物理TOP TOPページに戻る
【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。
各問題の著作権は
出題大学に属します。©2005-2024(有)りるらる 苦学楽学塾 随時入会受付中!理系大学受験ネット塾苦学楽学塾(ご案内はこちら)ご入会は、
まず、こちらまでメールを
お送りください。