量子力学の基礎
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1924年ド・ブロイによって提唱された「物質波」の概念に基づき、シュレーディンガーによって構築された「量子力学」とはどんなものか、ニュートンの古典力学とどう違うのか、体験してみましょう。なお、ここでは、指数関数
を、指数がややこしい形になることが多いので、
と書きます。
です。
古典力学で、速度vで運動する粒子のエネルギーは、
です。速度を使わずに運動量
を用いて書くと、
･･･①
1次元の波動は、波動方程式、
･･･②
･･･③
を②に代入してみると、
となるので②を満たし、③が②の解になっていることがわかります。
境界条件：
初期条件：
を課すと、例えば、
(n，Nは整数)
，周期は
，これを用いて、
･･･④
これより、
となっています(波の公式を参照)。ですが、ド・ブロイの公式より、
，
(h：プランクの定数，ν：振動数)
これを①：
に代入すると、
，
より、
ということになり、粒子としての関係式①を満たせなくなってしまいます。
そこで、②を満たす解を、複素数を用いて記述し、
としてみます(
，
：角振動数，
：波数)。
⑥を
，
⑦を
，
のように見ると、
とするためには、
，
･･･⑧ (
がよく出てくるので、
としています。
はディラック定数と呼ばれています)
とすると、
が満たされることになります。
粒子の物質波が満たす波動関数ϕが従うべき方程式は、①で⑧の変換を施した、
ということになります。これを1次元のシュレーディンガー方程式と言います。複素数で波動関数ϕを扱い、
が微小体積
中に電子が存在する確率と考えます。
が確率密度関数です(正規分布を参照)。
3次元の場合には、
となりますが、ラプラス演算子：
を用いて、
と書くことができます。⑧の
は、
として、
と書けます。運動エネルギー
に加えて位置エネルギー
が存在する場合には、シュレーディンガー方程式は、
･･･⑨
のみの関数
，t のみの関数
の積として、
の形に書ける(変数分離と言います)として、⑨に代入すると、
で両辺を割ると、
左辺はtのみの関数、右辺は
のみの関数です。これが等しくなるためには定数であることが必要です。この定数をEとおくと、偏微分
は通常の微分
となり、
よって、
とおいて、
これより、
となりますが、
は、偏微分方程式：
･･･⑩
の代わりに
と書いたものを運動量演算子と言います。左辺の
をハミルトニアン(エネルギー演算子)と言います。演算子Aを関数ϕに作用させ、
という微分方程式を解いて定数aが求められるとき、aを演算子Aの固有値と言います。また、その時の解ϕを固有値aに対する固有関数と言います。
ここでは、時間を含まないシュレーディンガー方程式について考えます。
まず、一次元のシュレーディンガー方程式を考えます。右図のような高さ
のポテンシャル障壁の問題を考えてみましょう。
(
)， 
(
)， 
(
)
として、x軸負方向から粒子が入射する状況を考えます。
，
とおくと、シュレーディンガー方程式⑩は、
，
において、
，
･･･⑪
において、
，
･･･⑫
となります。
における⑪の解を、
･･･⑬
における⑫の解を、
･･･⑭
における⑪の解を、
･･･⑮
とおきます。⑬の
は電子の入射波、
は電子の反射波、⑮の
は透過波を意味しています。
⑬を微分すると、
⑭を微分すると、
⑮を微分すると、
において、
と
が連続なので、
，
において、
と
が連続なので、
，
これらを解くと、
ここで、
は
から進入してくる入射波の振幅、
は反射波の振幅、
は透過波の振幅を表します。
ポテンシャル障壁を粒子が透過する確率は、
で表され、
より、
(
)
となる粒子でも、
にも粒子の存在確率が出てくることがわかります。ポテンシャル障壁を越えるのに必要なエネルギーを持っていないのにもかかわらず、この障壁を越えてしまう粒子がある、という現象をトンネル効果と言いいます。
のときは、
となり、透過率はほぼ1、つまり粒子はほぼ全数透過してしまいます。
のとき、
なので、障壁の高さが高いと粒子は障壁を越えられなくなります。
量子力学の基礎(その2)につづく。
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･･･⑥
･･･⑦
，
