東工大物理'02年前期[3]
質量mの小球の両側に自然長が
のゴムひも1と
のゴムひも2の一端をつなぎ、図のようにこの小球を水平に置かれた長さLの真っ直ぐなレールの上に置く。2本のゴムひもの他端は、レールの両端に固定された支柱につないだ。このときいずれのゴムひもも自然長よりも伸びていた。ゴムひもを自然長から
引き伸ばすと
に比例する復元力が働く。復元力の比例定数は、ゴムひも1ではk，ゴムひも2では
である。図のようにつりあいの位置をx軸の原点とし、ゴムひも2のある右方向をx軸の正の向きとして小球の位置をxで表すものとする。なお、小球は、レールの上を摩擦なく運動するものとし、たるんだゴムひもにより運動が妨げられることはないものとする。また、ゴムひもの質量は無視できるものとする。
[A] 小球が原点にある場合について考える。
(a) ゴムひも1と2のそれぞれの自然長からの伸び
と
を求めよ。
[B] 小球をxまで変位させたとき小球が2本のゴムひもから受ける合力Fを考える。なお、力Fの符号は、x軸の向きと同様に右向きを正とする。
(b) Fとxの関係を表すグラフを
の領域について示せ。なお、この範囲の変位では、小球は支柱にぶつからないものとする。また、答案用紙のグラフでは、変位と力の単位をそれぞれ
，
として表していることに注意せよ。また、特徴的な点の座標については、その数値をグラフ中に記入せよ。
[C] 小球を
(
)で静かに放した場合の小球の運動を考える。 (c) 小球の加速度をaとして小球に対する運動方程式を導き、運動の周期Tを求めよ。なお、加速度aの符号は、x軸の向きと同様に右向きを正とする。
[D] 小球を
で静かに放した場合の小球の運動について以下の問いに答えよ。なお、以下の問いでは、必要な場合には、
を用いて解答せよ。 (d) 小球がx軸の負の領域にある場合に、変位の絶対値が最大となる小球の座標
を求めよ。 (e) 以上の考察にもとづいて次の文章中の①から⑦の に当てはまる適当な式、または、数値を解答欄に記入せよ。
小球はx≧ ① の領域では、x＝ ② を中心とする振幅 ③ で周期T＝ ④ の単振動の一部となる運動をする。また、x≦ ① の領域では、x＝ ⑤ を中心とする振幅 ⑥ ，周期T= ⑦ の単振動の一部となる運動をする。全体として両者が、x＝ ① で滑らかに接続されたものとなる。
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解答 [A](a) つり合いの位置で小球に働く力は、x軸正方向にゴムひも2の張力
，x軸負方向にゴムひも1の張力
，この2力の力のつり合いより、
･･･① ゴムひもの長さについて、
･･･②
①より、
，②に代入して、
∴ 
，
......[答] 
[B](b) 
では、ゴムひも2はたるみます。
では、ゴムひも1がたるみます。従って、
，
，
の3つの領域で分けて考える必要があります。 (i) 
のとき、ゴムひも2はたるみ、ゴムひも1の伸びは
です。たるんだゴムひも2は力を及ぼさず。ゴムひも1の張力はx軸負方向を向きます。よって、
(ii) 
のとき、ゴムひも1の伸びは
，ゴムひも2の伸びは
です。ゴムひも1の張力はx軸負方向、ゴムひも2の張力はx軸正方向を向きます。よって、
(iii) 
のとき、ゴムひも1はたるみ、ゴムひも2の伸びは
です。ゴムひも2の張力はx軸正方向を向きます。よって、
のとき、
，
のとき、
，
のとき、
，
のとき、
以上より、Fとxの関係を表すグラフは右図。
[C](c) 小球を
(
)で静かに放した場合、放した直後においては、小球は
の領域にいるので、[B](b)の(ii)より、小球には
という力が働きます。よって、小球の運動方程式は、
∴ 
これは、角振動数
の単振動を表します。振動中心は
で、
で放しているので振幅は
となり、
の範囲で単振動します。この範囲は、[B](b)(ii)の範囲
に完全に含まれるので、求める運動の周期は、
......[答]
[D](d) 小球の位置が
にある間は、[B](b)(i)より、小球に働く力は
で、運動方程式は、
∴ 
これは、角振動数
の単振動を表します。このときの周期は
です。振動中心は
で、
で放しているので振幅は
となります。小球がx軸負方向に向かって動いていくと、
の範囲から出てしまいます。
小球は
で静かに放したとき、位置エネルギー
を持っています。
まで来たときには、ゴムひも1の伸びは
となり、位置エネルギーは
従って、このときの運動エネルギー
は、力学的エネルギー保存より、 ∴ 
の範囲においては、[C](c)で見たように、小球は、
を振動中心とする角振動数
の単振動を行います。周期は
です。
に来たときの位置エネルギー
は、[B](b)(ii)よりばね定数を
と考えて、
となります。運動エネルギーは
のまま変わらないので、このとき全力学的エネルギーは、 小球が仮に
まで来たとすると、位置エネルギーは
となりますが、
を超えてしまうので、小球は
に到達できません。
において変位の絶対値が最大となるとき(
)の振動中心からの距離は
です。このときの位置エネルギーは、
，このとき運動エネルギーは0 (一瞬静止する)なので、力学的エネルギー保存より、
より、
......[答]つまり、このときの単振動の振幅は
です。
(e) 上記の考察より、
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......① の領域では、x＝
......② を中心とする振幅
......③ で周期T＝
......④ の単振動の一部となる運動をする。また、x≦
......① の領域では、x＝ 0 ......⑤ を中心とする振幅
.....⑥，周期
......⑦ の単振動の一部となる運動をする。全体として両者が、x＝
......① で滑らかに接続されたものとなる。