東工大物理'23年前期[2]
ダイオードは、p型半導体とn型半導体を接合した素子で、整流作用を示す。図1のように、ダイオードの端子Cの電位を基準とする端子Aの電位を電位差
とし、右向きに流れる電流を
とする。本問題におけるすべてのダイオードは、図2のグラフの電流電圧特性を示す。図2の特性は、電流が流れ始める電圧
および内部抵抗rで説明することができる。
における電流電圧特性の傾きは
であり、
と
の関係は次の式で与えられるものとする。
すなわち、
である場合にはダイオードを絶縁体とみなすことができ、
である場合にはpn接合に一定の電圧降下
が発生し、残りの電圧
がダイオードの内部抵抗rに加わることで、
の電流が流れると考えることができる。
[A] 図3のように、起電力
の直流電源、ダイオード
，
，電気抵抗Rの抵抗、スイッチSを接続した。抵抗を矢印の向きに流れる電流
について、以下の問いに答えよ。ただし、直流電源の内部抵抗は無視できるものとする。
(a) スイッチSが開いている場合、抵抗に矢印の向きに0ではない電流
が流れた。このことから、
はある値
よりも大きかったことがわかる。
と
を
，
，r，Rのうち必要なものを用いて表せ。
[B] 図4のように、起電力
の直流電源、ダイオードD，電気容量
，
のコンデンサー、電気抵抗Rの抵抗、電圧計、スイッチ
，
を接続した。電圧計は、マイナス端子(－)の電位に対するプラス端子(＋)の電位の差
を測定できるものとする。はじめに、スイッチ
はA側にあり、スイッチ
は開いており、どのコンデンサーも電荷を蓄えていなかったものとする。以下の問いに答えよ。ただし、直流電源の内部抵抗は無視でき、電圧計の内部抵抗は無限大であるとする。
(c) スイッチ
をB側に入れたところ、コンデンサーに電荷が蓄えられ、電圧計はある一定値
を示した。その後、スイッチ
を閉じて十分に時間が経過すると、電圧計は
とは異なる一定の値
を示した。後者の電圧変化が起きたことから、
はある値
よりも大きかったことがわかる。
，
，
を
，
，
，
，rのうち必要なものを用いて表せ。
[C] 図5のように、鉛直上向きに磁束密度B (
)の一様で時間的に変化しない磁場がかかっており、水平面から角度θ (
)だけ傾いた2本の導体のレールが間隔
で平行に置かれている。質量がmで太さを無視できる導体棒が2本のレールの上に置かれて接している。導体棒は、レールと直交した状態を維持しながら摩擦や空気抵抗の影響を受けることなく移動できる。また、2本のレールの間にはダイオードDが接続されている。先に定義したように端子Cに対する端子Aの電位差を
とする。重力加速度の大きさを
とする。図6は、導体棒が点に見える方向から見た図を示しており、レールに沿って下る向きにx軸をとる。
の位置に導体棒を置き、時刻
で静かに導体棒を放したところ、導体棒はレールの上を動き始めた。その後、ある時刻
に達するまでは、ダイオードDには電流は流れず、時刻
を超えるとダイオードDに電流が流れるようになった。十分に時間が経過すると導体棒の速度は一定になった。さらに時間が経過すると、導体棒は
に達した。以下の問いに答えよ。ただし、回路に流れる電流により発生する磁場、レールと導体棒の電気抵抗、回路の電気容量は無視できるものとする。また、レールは十分に長く、導体棒がレールの端に達することはないものとする。
(e) ダイオードDに電流が流れていない時刻t (
)における電位差
を、t の関数
としてt，m，
，r，B，
，θ，
のうち必要なものを用いて表せ。ただし、このとき導体棒およびレールには電流は流れていないとみなしてよい。
(f) 時刻
を求めよ。ただし、m，
，r，B，
，θ，
のうち必要なものを用いて表せ。
(g) 導体棒が
に達したときの
の値
を求めよ。ただし、m，
，r，B，
，θ，
のうち必要なものを用いて表せ。
(h) 導体棒が
から
まで移動した間に、ダイオードDで消費された電力量Wを求めよ。ただし、問(g)における
と、m，
，B，
，θ，Lのうち必要なものを用いて表せ。
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解答 前半はダイオードの基礎問題なのですが、コンデンサーが絡むので安易に解答すると落とし穴が待っています。特に[B](d)では細心の注意が必要です。後半は、ダイオードが入っているとはいえ、コの字型回路の典型問題です。
問題文に書かれている
と
の関係式より、ダイオード両端の電圧
は、ダイオード順方向に電流
が流れているとき(
)、
･･･①
[A](a) ダイオード
に順方向に電流
(
)が流れるので、①よりダイオード
両端の電位差は
で与えられます。このとき、キルヒホッフ第2法則より、 
∴ 
......[答]ダイオード
の電圧が
よりも大きければ、ダイオード
に電流が流れるので、 よって
，
......[答]要するに、ダイオードの電圧が
より大きければ電流が流れると言っても、ダイオードの電圧降下から
を引いて、ダイオードの内部抵抗による電圧降下が正、つまり、順方向に電流が流れるとして電流が正、と考えればよい、ということです。
(b) 抵抗Rに電流
が流れているとして、抵抗R，すなわち、ダイオード
の電圧は
です。ダイオード
に流れる電流を
とすると、ダイオード
両端の電圧は①より
です。キルヒホッフ第2法則より、 
∴ 
･･･②ダイオード
に流れる電流は
でダイオード
両端の電圧は
となり、図3の左側の閉回路について、キルヒホッフ第2法則より、②を用いて、 
∴ 
......[答] ･･･③ダイオード
に流れる電流は、この
を②に代入して、 よって、
･･･④
ダイオード
に流れる電流は、②と③を用いて、 よって、
･･･⑤
④かつ⑤であって、
より、
......[答]
[B](c) スイッチ
をB側に入れると、コンデンサー
，
が直流電源
に直列に入ります。
，
の電圧を
，
として、はじめコンデンサーに電荷が蓄えられていなかったので右図F点の電荷の総和は0で、
∴ 
･･･⑥キルヒホッフ第2法則より、
スイッチ
を入れても、ダイオードD両端の電圧
について、
の場合にはダイオードDには電流は流れず、電圧変化は起きません。電圧変化が起きたということは、
だったということであり、求められた
の値を用いて、⑥より、
(d) スイッチ
を閉じたまま、スイッチ
をA側に入れると、コンデンサー
も放電して電圧が
になるような気がしますが、そうはなりません。既に、コンデンサー
が放電完了していて、ダイオードDが絶縁状態にあるため、右図F点は孤立していて、ここに残されている電荷が移動できないからです。コンデンサー
が放電完了と言っても、
両端の電圧は0ではなく
で、
の下側の極板には電荷
が残っています。スイッチ
切り替え前、
両端の電圧は
だったので、
の上側(右下側の図では下側)の極板には電荷
が残っています。合わせて、F点には
という電荷が、スイッチ
切り替え後も移動できずに残されます。
スイッチ
切り替え後充分に時間が経過すると抵抗に電流が流れなくなり抵抗両端は等電位で、コンデンサー
，
は右図のように並列接続状態になります。電気容量の和は
で、電圧計が示す電圧はコンデンサー
の電圧であって、 
......[答]注．このとき、
の電圧、つまり、ダイオードDの順方向電圧は、 となっていて、電流が流れないときのダイオードの電圧が必ずしも
になるわけではないことに注意してください。
[C](e) ダイオードDに電流が流れていないということは、導体棒にも電流が流れず、導体棒は磁場から力を受けず、重力
の斜面に沿う方向の成分
のみを受けて、導体棒は、加速度
で等加速度運動をします。時刻t (
)における導体棒の速度は、
です。磁場と速度のなす角は
なので、導体棒に発生する起電力は、フレミング右手の法則より、ダイオードDに順方向に電流を流そうとする向きに、 ダイオードの端子Cに対する端子Aの電位差
も、
......[答]
(f) 導体棒の速さが次第に増して、時刻
に
となり、以後、電流が流れるようになります。 
∴ 
......[答]
(g) 時刻
において、導体棒の速度がvになったとき、ダイオードDに流れる電流I は、問題文に書かれている
と
の関係式において
とすることにより、 
･･･⑦導体棒が磁場から受ける力は、フレミング左手の法則より水平方向右向きに
，斜面に沿う方向の成分は、
，導体棒の速度が一定になるとき、導体棒に働く力のつりあいより、⑦を用いて、 ダイオードDの電圧は、導体棒の速度が一定になった後は変化せず、
に達したときの電圧
は、 
......[答]
(h) 
に達したときの導体棒の速度vは(g)の
を用いて表すと、 
......[答]
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とは異なる電流
が流れた。このことから、
はある値
よりも大きかったことがわかる。
と
を
，
，r，Rのうち必要なものを用いて表せ。
を閉じたまま、スイッチ
をA側に入れて十分に時間が経過すると、電圧計はある一定の値
を示した。
を
，
，
，
，rのうち必要なものを用いて表せ。
，
∴ 
......[答]
，
......[答]
が、
の電圧が
になるまで放電するので、コンデンサー
の電圧は、
......[答]
に到達するまでに重力がした
における