東大物理'03年前期[1]
図1のように、質量
の物体Aと質量Mの物体Bが、ばね定数kの質量の無視できるばねによってつながれて、なめらかで水平な床の上に静止していた。また、物体Aはかたい壁に接していた。床の上を左向きに進んできた物体Cが、物体Bに完全弾性衝突して、跳ね返された。右向きを正の向きと定めると、衝突直後の物体Cの速度は
(
)，物体Bの速度は
(
)であった。その後、物体Bと物体Cが再び衝突することはなかった。
Ⅰ まず、衝突前から物体Aが壁から離れるまでの運動を考える。
(1) 衝突前の物体Cの速度
(
)を
と
を用いて表せ。 (2) ばねが最も縮んだときの自然長からの縮みx (
)を求めよ。 (3) 衝突してからばねの長さが自然長に戻るまでの時間Tを求めよ。
Ⅱ ばねの長さが自然長に戻ると、その直後に物体Aが壁から離れた。
(1) やがて、ばねの長さは最大値に達し、そのときの物体Aと物体Bの速度は等しくなった。その速度
を求めよ。 (2) ばねの長さが最大値に達したときの自然長からの伸びy (
)を求めよ。 (3) その後ばねが縮んで、長さが再び自然長に戻ったとき、物体Aの速度は最大値Vに達した。Vを求めよ。
Ⅲ 物体Aが壁から離れた後、物体Bと物体Cの間隔は、ばねが伸び縮みを繰り返すたびに広がっていった。このことからわかる
と
の関係を、不等式で表せ。
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解答 こうした単振動の問題では、極力、運動方程式を立てずに、エネルギー的考察(エネルギーの原理、力学的エネルギー保存則)で考えるようにしましょう。運動方程式に頼るとどうしても微積分が出てきて、遠回りになります。
∴ 
......[答] (2) 衝突直後のA+Bの力学的エネルギーは、運動エネルギーの
のみ。 ばねが最も縮んだとき(A，Bとも速度0)のA+Bの力学的エネルギーは、弾性エネルギーの
のみ。力学的エネルギー保存より、
∴ 
......[答] (3) 物体Bの運動は単振動で、速さの最大値は
，振幅は
((2)で求めた最大の縮みが振幅になります) 単振動の角振動数をω として、公式：
より、 ∴ 
求める時間Tは、単振動の半周期で、
......[答]
Ⅱ ばねが自然長に戻ると、ばねがAに及ぼす力は0，従って、壁がAに及ぼす力も0になり、この直後に、Aは壁から離れます。このとき、Aの速度は0でBの速度は
(Cとの衝突直後と等大逆向き)です。 (1) ばねの伸びが最大になるとき、Aから見てBは止まります。ということは、床から見ると、AとBの速度は同じ速度
になります。 外部からAとBとばねからなる系に働いている力はありません。従って、運動量保存則が成立します。Cとの衝突直後、Bだけが運動量
を持っていて、ばねの伸びが最大になるとき、A，Bの運動量は、
，
です。運動量保存より、
∴ 
......[答]
(2) C との衝突後最初にばねが自然長に戻るとき、Bだけが運動エネルギー
を持っていて、Aの運動エネルギーとばねの弾性エネルギーは0です。 ばねの長さが最大になったとき、Aの運動エネルギーは、
，Bの運動エネルギーは、
，このときのばねの伸びはyなので、ばねの弾性エネルギーは、
この系に対して仕事をしている力は存在しないので、力学的エネルギー保存より、 ∴ 
......[答]
(3) ばねが自然長に戻ったときのBの速度をvとして、
Ⅲ A，Bを一体と考えて、重心の速度を
とする(運動量保存より、重心は等速度運動をします)と、 
......[答]であればよいことになります。
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なので、
......[答]
で等速度運動するので、B，Cの間隔が広がってゆくためには、
，即ち、