東大物理'20年前期[3]
図3－1に示すように、容器X，Yにそれぞれ1モルの単原子分子理想気体が入っている。容器Xの上部は滑らかに動くピストンで閉じられており、ピストンの上にはおもりが載せられている。ピストンの質量は無視できる。容器Yの体積は一定である。容器の外は真空であり、容器Xと、容器Yまたは物体Zが接触した場合にのみ熱のやりとりが行われ、外部の真空や床などとの熱のやりとりは常に無視できるものとする。容器の熱容量は無視できる。また、物体Zの温度は常にに保たれているものとする。
はじめ、容器Xは容器Yと接触しており、ピストンの上には質量 ()のおもりが載せられている。容器X内の気体の圧力はである。容器X，Y内の気体の温度はともにである。このときの容器X内の気体の状態を状態Aと呼ぶことにする。続いて、図3－1に示すように、以下の操作①～④を順番に行い、容器X内の気体の状態を、A→B→C→D→Eと変化させた。これらの操作において、気体の状態変化はゆっくりと起こるものとする。気体定数をRとすると、状態A～Dにおける容器X内の気体の圧力、温度、体積、内部エネルギーは表3－1のように与えられる。

操作①(A→B)　容器Xを、容器Y，物体Zのいずれとも接触しない位置に移動させた。次に、ピストン上のおもりを質量がmになるまで徐々に減らした。

操作②(B→C)　容器Xを物体Zに接触させ、容器X内の気体の温度がになるまで放置した。

操作③(C→D)　容器Xを、容器Y，物体Zのいずれとも接触しない位置に移動させた。次に、ピストン上のおもりを質量がになるまで徐々に増やした。
この操作後の容器X内の気体の温度をとする。

操作④(D→E)　容器Xを容器Yと接触させ、容器X，Y内の気体の温度が等しくなるまで放置した。このときの温度をとする。

以下の設問に答えよ。

Ⅰ　操作①～③において、容器X内の気体がされた仕事をそれぞれ，，とする。，，をR，，aを用いて表せ。

Ⅱ　操作④による容器X内の気体の状態変化(D→E)について、以下の設問に答えよ。
(1) 操作④による容器X内の気体の内部エネルギーの変化を、R，，を用いて表せ。

(2) 操作④において、容器X内の気体がされた仕事を、R，，を用いて表せ。

(3) 状態Eにおける容器X内の気体の温度を、，を用いて表せ。

　　　　　　　　表3－1

圧力温度体積内部エネルギー
状態A
状態B
状態C
状態D ()



Ⅲ　aの値がある条件を満たすとき、操作①～④は、容器X内の気体に対して仕事を行うことで、低温の物体Zから容器Y内の高温の気体に熱を運ぶ操作になっている。操作④による容器Y内の気体の内部エネルギーの変化をとして、以下の設問に答えよ。

(1) 操作④によって容器Y内の気体の内部エネルギーが増加する()とき、操作①～④における容器X内の気体の圧力pと体積Vの関係を表す図として最も適切なものを、図3－2のア～カの中から一つ選んで答えよ。

(2) となるためのaに関する条件を答えよ。

(3) 操作①～④の間に容器X内の気体がされた仕事の総和をW，操作②において容器X内の気体が物体Zから受け取る熱量をとする。を、Wとを用いて表せ。

(4) 状態Eからさらに引き続き、操作①～④を何度も繰り返すと、容器Y内の気体の温度は、ある温度に漸近する。を、とaを用いて表せ。


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解答　状態方程式を立てずとも、各状態の圧力、温度、体積、内部エネルギーが表3－1に与えられていて、時間不足にならないように配慮されています。

Ⅰ　容器X内の気体の変化を考えます。操作①では熱のやりとりがないので断熱変化です。操作②ではおもりによる重力に変化がなく圧力が変わらず定圧変化です。操作③では熱のやりとりがなく断熱変化です。操作④は操作②と同様に定圧変化です。以下、表3－1のデータを使って求めます。

操作①では断熱変化なので、熱力学第一法則により、気体がされた仕事は気体の内部エネルギーの増加に等しくなります。よって、
......[答]
操作②では定圧変化なので、気体がされた仕事は、圧力と体積変化の積の符号を変えたもので、
......[答]
操作③では断熱変化なので、熱力学第一法則により、気体がされた仕事は気体の内部エネルギーの増加に等しく、
......[答]

Ⅱ(1) 操作④では、容器X内の1モルの気体の温度がと変化するので、内部エネルギーの変化は、
......[答]

(2) 操作④は定圧変化なので、定圧モル比熱の式より、容器X内の気体が吸収した熱は、
　･･･(A)
操作④で容器X内の気体がされた仕事は、熱力学第一法則：より、
......[答]

(3) (A)の熱は、操作④で容器Y内の気体が与えた熱に等しくなります。容器Y内の気体は定積変化し、容器Y内の1モルの気体が与えた熱は、温度がと変化するので、定積モル比熱の式より、　(与えた熱なのでマイナスがつく)

∴ ......[答]

Ⅲ　操作④による容器Y内の1モルの気体の内部エネルギーの変化は、温度がと変化するので、Ⅱ(3)の結果を用いて、
　･･･(B)
(1) ，(B)より、です。
Ⅱ(3)の結果より、　(なので、容器Y内の気体は、操作④の間に温度が上昇しです)
そこで、②，④が定圧変化のイ、ウ、オ、カのいずれかで、このうち、温度が、の関係にある(定圧変化のグラフ上で、左から右へ、状態A，状態E，状態Dの順に並ぶ)ものは、オ ......[答]

(2) (1)の結果より、表3－1のデータを用いて、
∴ ......[答]

(3) 操作④の間、容器Y内の気体は定積変化するので、熱力学第一法則より、容器Y内の気体が吸収した熱は、内部エネルギーの増加分に等しく、容器X内の気体が容器Yから吸収した熱はです(符号に注意)。
操作①と③は断熱変化なので、操作①～④の間に容器X内の気体が吸収した熱は、，内部エネルギーの増加分は、温度がと変化することから、に等しくなります。
よって、熱力学第一法則より、
∴ ......[答]

(4) 操作①～④をn回繰り返した後の容器Y内の気体の温度をとすると、Ⅱの(3)の結果において、，として、
容器Y内の気体の温度がに漸近したとき、，として、
　∴　 ......[答]　(物理では2項間漸化式を解く必要はありません)



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