北大理系数学'07年前期[5]
楕円
：
と双曲線
：
を考える。
と
の焦点が一致しているならば、
と
の交点でそれぞれの接線は直交することを示せ。
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解答 2次曲線に関する証明問題を見ておきます。2次曲線に関する問題の項目にもいろいろな例を挙げていますので参照してください。
楕円
の焦点は、
のときはx軸上の
，
のときはy軸上の
にあります。
双曲線
の焦点はx軸上の
にあります。
と
の焦点が一致するということは、焦点はx軸上にあって、
であり、
･･･①
また、
，
の交点を
とすると、交点は、
上の点でも
上の点でもあるので、
･･･②
･･･③
ここで、
だとすると、②，③より、
となりますが、このとき、①より、
，即ち、
となってしまうので、
点
における楕円
の接線は、
であって、その傾きは、
のとき、
です。
点
における双曲線
の接線は、
であって、その傾きは、
のとき、
です。
題意を示すためには、両接線の傾きの積：
が
になってくれればよい(2直線の平行・垂直を参照)わけです。
②，③より、
①より、
∴ 
∴ 
よって、
と
の交点でそれぞれの接線は直交します。
追記．上記では、楕円の接線の公式を用いましたが、香川大医'07年[3]にこの公式を導く問題が出題されています。
曲線C：
(
，
)上の点P
におけるこの曲線の接線をlとする。このとき、次の問いに答えよ。 (1) 直線lの方程式は
となることを示せ。 (2) 点Pが曲線Cの第1象限の部分を動くとする。直線lとx軸，y軸の交点をそれぞれQ，Rとするとき、線分QRの長さの最小値を求めよ。
解答(1) 点P
が曲線C上の点であることから、 
･･･①
のときには、
のとき、点
における接線の傾きは、
接線の方程式は、
(∵ ①)
をかけて、
･･･②
のとき、点P
における曲線Cの接線は、
①より、これも②に含まれます。
よって、直線lの方程式は、
(2) 曲線C上の点P
は、 
，
と媒介変数表示されます。点Pが第1象限の点のときには
です。接線lの方程式は、となります。
としてx軸との交点Qのx座標は、
としてy軸との交点Rのy座標は、
線分QRの長さの2乗は、 不等号の等号は、
，
においては、
のときに成り立ちます。
よって、線分QRの長さの最小値は、
......[答]
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