2次曲線に関する問題(その1) 関連問題
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2次曲線の問題を素直に2次方程式を用いて解く場合、2次方程式の判別式、2次方程式の解と係数の関係の技巧を考えます。
例1．楕円：
と直線：
が2点P，Qで交わっているとき、a，b，m (
，
，
)を定数として、nの値を動かすときのPQの中点Mの軌跡、また、nに対してPQの長さを求める。
[解答] 楕円の方程式の分母を払うと、
と連立して、
整理すると、
･･･①
楕円と直線が2点で交わるので、①は、異なる2実数解をもちます。
判別式：
(2次方程式を参照)
∴ 
①の2解をα，β とすると、PQの中点Mのx座標は
です。
①において、解と係数の関係より、
よって、Mのx座標は、
･･･②
PQの中点Mは、直線
上の点ゆえ、Mのy座標は、
･･･③
②，③からnを消去すると、
これが軌跡の方程式です。
②において、nの範囲を考慮すると、
∴ 
Mの軌跡は、直線：
の
の部分で、右図赤線部分(両端白マルを除く)。 ......[答]
線分PQの長さは、P，Qのx座標の差に
をかけたものになります。また、P，Qのx座標の差
は、
(2次方程式の一般論を参照、2次方程式：
の判別式を
として、2解の差は、
)
よって、PQの長さは、
......[答]
例2．楕円：
(
，
)外の点Pから楕円に引いた2接線が直交するようにPが動くとき、Pの軌跡を求める。
[解答] 
のとき、点P
を通る傾きmの直線は、
∴ 
･･･①
以下、
を1文字のように扱うのがコツです。
楕円の方程式の分母を払うと、
①を代入すると、
整理して、
直線①と楕円は接するので、この2次方程式は重解をもち、判別式：
(2次方程式を参照)
∴ 
∴ 
より、これをmに関する2次方程式と見ると、2解
は、Pから楕円に引いた2接線の傾きです。
2接線が直交するので、傾きの積
は
(2直線の平行と垂直を参照)
解と係数の関係より、
分母を払って整理すると、
･･･②
のとき、
とすれば、Pから楕円に引いた2接線は、
のいずれかと
のいずれかであって、直交します。
，
は、4通りの符号のどの組み合わせについても、②を満たすので、②で、
，
と書き換えて、
Pの軌跡は、円：
......[答]
注．円：
は、楕円：
の準円と呼ばれます。
例3．放物線：
(
)上にない点Pから放物線に引いた2接線が直交するようにPが動くとき、Pの軌跡を求める。
[解答] 例2と同様に、点P
を通る傾きmの直線は、
･･･①
放物線の方程式に代入して、
直線①と放物線が接するので、この2次方程式は重解を持ち、判別式：
∴ 
整理して、
2接線は直交するので、この2次方程式の2解
の積は、
解と係数の関係より、
∴ 
と置き換えて、Pの軌跡は、直線：
......[答]
直線：
は、放物線：
の準線です。
例4．双曲線：
(
，
)に関して、以下を証明する。
(1) 直線：
(
)と、双曲線との交点をP，Q，直線と漸近線との交点をR，Sとして、
(2) 原点をOとする。双曲線上の1点Pにおける接線と、漸近線との交点をA，Bとすると、点PはABの中点であり、三角形OABの面積は一定，また、双曲線の焦点をFとして、
[証明](1) 双曲線の漸近線：
と
を連立し、
∴ 
(複号同順)
よって、RSの中点のx座標は、
一方、双曲線の方程式の分母を払うと、
を代入して、
整理して、
この2次方程式の2解α，β が、PとQのx座標になります。
PQの中点のx座標は、解と係数の関係より、
PQとRSの中点が一致するので、
(証明終)
(2) 接点Pの座標を
だとして、接線：
分母を払って、
漸近線の方程式：
を代入して、
∴ 
(複号同順)
よって、ABの中点のx座標は、
(∵ Pは双曲線上の点だから、
)
Pは直線AB上の点であり、ABの中点のx座標がPのx座標に一致するので、PはABの中点です。
A，Bのy座標は、x座標の値を漸近線の式に代入することにより、
(複号同順)
三角形OABの面積は、
より、
(証明終)
(2次曲線に関する問題(その2)へつづく)
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