埼玉大理数学'09年[3]
xy平面において2つの曲線
：
，
：
(
)を考える。次に、
の点
における接線を
とする。ただし、
のとき、接線
は直線
とする。
(1) 接線
と円
が共有点をもつようなaの範囲を求めよ。 (2) aが(1)で求めた範囲にあるとき、接線
と円
の共有点をP，Qとする。ただし、共有点が1点の場合は
とする。このとき、線分PQの中点Mの軌跡Cの方程式を求めよ。 (3) 軌跡Cと円
に囲まれ、点
を含む図形の面積を求めよ。
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解答 (3)の定積分計算がなかなか面倒です(置換積分を参照)。
(1) 
について、 
のとき、接線
：
は、
上の点
を通るので、接線
と円
は共有点をもちます。これを、
：
に代入して、 
をかけて整理すると、
･･･①左辺を
とおくと、接線
と円
が共有点をもつとき、2次方程式
は、
の範囲に重解も含めて2実数解をもち、その条件(2次方程式の解の配置を参照)は、 判別式：
･･･②
軸の位置：
･･･③
端：
，
･･･④ ②より、
∴ 
･･･⑤
③の左の不等号は
であれば必ず成立します。右の不等号より、 
∴ 
･･･⑥④は、
，
より、必ず成立します。よって、
，⑤，⑥より、 
のときを含めて、共有点をもつaの範囲は、
......[答]別解．円と直線の位置関係を考える場合には、点と直線の距離の公式を用いるのが便利です。
円
と接線
が共有点をもつのは、円
の中心
と接線
：
との距離が半径1以下の場合です。よって、
(2) P，Qのx座標をp，qとします。p，qは①の2解です。解と係数の関係より、 PQの中点Mのx座標Xは、
aについて解くと、
･･･⑦(1)より
なので、 ∴ 
･･･⑧Mのy座標Yは、⑦を
の式に代入することにより、 
，
として、Mの軌跡Cの方程式は、
......[答]⑧より、
(3) 面積Sを求める図形は右図黄色着色部分で、円
から下側、C：
から上側の部分であり、
の部分に存在します。
このうち、
は、右図の黄緑色着色部分の面積で、文字の置き方を考えることになりますが、なるべく分母を簡単にしたいので、
とおきます。
，
，
，
，x：
のとき、t：
また、
ここで、被積分関数を2つに分けて計算します。
∴ 
∴ 
......[答]
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，
とおくと、
，t：
のとき、θ：
において、
は、右図の水色部分の面積で、
における
