滋賀医大数学'10年[4]
2回微分可能な関数
，すなわち
の導関数
及び
の導関数
が存在する関数が、すべての実数xについて
を満たしている。また、
とする。
(1) 
を示せ。 (2) 
を示せ。 (3) すべての実数xについて
であるとき、すべての実数xについて が成立することを示せ。
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解答 (2)の不等式の形から、平均値の定理が主役になりそうです。(3)が悩みます。
の意味を考えてみましょう。
一例として、
のような関数を考えてみます。
右図のように、
では、
，
，
(関数の極限を参照)
では、
，
，
となっていて、
，
，
は同じような変化をします。上記では
ですが、ここで、
が
において
になるとすると、
の前後で
は正から負に符号を変えます。ということは、ここで
です。
なので、
において
であれば
です。
pをある負数だとして
において
とすると、
これより、
のとき
，
となります。つまり、
であるために、
に引きずられて
も
となってしまうのです。
同様に、
も
となるようなγ があると、
に引きずられて
となってしまいます。
(3)では、
となるcの存在を仮定すると
となり
に矛盾することから
を示すことにします。
は、(2)の不等式を利用して、仮に、
となるuの存在を仮定すると、
のとき
が負値に近づき
に矛盾することから
を示すことにします。
(1) 
とおくと、
と見て、
となる実数cが存在するから、
が単調減少であることを用いて、
より、 とするのは、誤りです。
となる実数
，
が
となるとは限らないからです。そこで、
の形のまま、平均値の定理を使うことを考えます。
そのために、「
となる実数cが存在する」、という形にします。
，
なので、 という関数を考えます。
は
において微分可能な関数なので、平均値の定理より、となる実数cが存在します。
，
より、
は単調減少関数なので、
より、別解．積分によっても示せます。
となるtに対して、(1)の結果を用いて、 
･･･①左側の不等号より、
の範囲で積分すると、 ∴ 
まず、「すべてのxについて
」を否定すると、「ある実数xについて
になる」ということになります。そこで、
となる実数cが存在する、と仮定します。
平均値の定理より、
のとき(あとで
とするので、cよりも大きいbを考えます)、 
，
･･･②となる実数dが存在します。このとき、(1)の結果を用いて、
より、
です。②より、ここで、
とすると、
，
(はさみうちの原理を参照)これは、「すべての実数について
」に矛盾します。従って、「
となる実数cが存在する」とした仮定は誤りで、すべての実数xについて
･･･③
「すべての実数xについて
」を否定するために、 という関数を考えます。
より、
は単調増加関数です。
となる実数uが存在すると仮定します。
は単調増加なので、
のとき、
(2)の結果の右側の不等号について、
のとき(あとで
とするので、uよりも小さいa，bを考えます)、 
･･･④ここで、
とすると、
，
(
) となり、
は、ある負の値に近づくか、あるいは、負の無限大に発散し、「すべての実数について
」と矛盾します。従って、「
となる実数uが存在する」とした仮定は誤りで、すべての実数xについて
，つまり、
･･･⑤ ③，⑤より、すべての実数xについて、
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)
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，
の範囲で積分すると、
は
のとき、
です。よって、