筑波大数学'11年[2]
自然数nに対し、関数
(
)
(1) 関数
(
)はただ一つの点で最大値をとることを示し、
が最大となるようなxの値
を求めよ。 (2) (1)で求めた
に対し、極限値
を求めよ。
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解答 (1)では、
(定積分と微分(その2)を参照)を用いて導関数を考えます。(2)は見慣れない極限ですが、はさみうちで解決できます。
(1) 
よって、
より、
において
は増加関数(関数の増減を参照)。 ・
において、
従って、関数
(
)はただ一つの点で最大値をとり、
が最大となるようなxの値
は、
......[答]
(2) 
より、
各辺のn乗根を考えると、
，
より、各辺の対数を考え、 ここで、
とすると、 
......[答]
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において、
，
，
より、
において
は減少関数。
，
においては、
