阪大理系数学'22年前期[2]

とする。以下の問いに答えよ。
(1) であることを示せ。
(2) とするとき、が成り立つことを示せ。
(3) は無理数であることを示せ。

解答 nを自然数として、の多項式で表したものをとして、多項式をチェビシェフの多項式と言います。より、です。

(1) より、

(2)


(1)より、となるので、
よって、
より、 ・・・@
よって、

(3) 背理法で示します。が有理数だと仮定し、pqを互いに素な自然数として、とおけるとします。より、
であって、 ・・・A です。@より、

qpは整数なので、pqの倍数となりpqが互いに素であることからに限られます。するとAより、となりますが、これを満たす自然数pは存在しません。つまりとおけるとした仮定に矛盾します。よってを有理数とした仮定は誤りで、は無理数です。



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