阪大理系数学'22年前期[2]
とする。以下の問いに答えよ。
(1) であることを示せ。
(2) とするとき、が成り立つことを示せ。
(3) は無理数であることを示せ。
解答　nを自然数として、をの多項式で表したものをとして、多項式をチェビシェフの多項式と言います。，，より、，，，です。

(1) より、

(2)


(1)より、となるので、
よって、
より、　･･･①
よって、

(3) 背理法で示します。が有理数だと仮定し、p，qを互いに素な自然数として、とおけるとします。より、
であって、　･･･②　です。①より、

q，，pは整数なので、pはqの倍数となりp，qが互いに素であることからに限られます。すると②より、となりますが、これを満たす自然数pは存在しません。つまりとおけるとした仮定に矛盾します。よってを有理数とした仮定は誤りで、は無理数です。


　　　演習上級数学TOP　　　数学TOP　　　TOPページに戻る
各問題の著作権は出題大学に属します。
©2005-2022
(有)りるらる		苦学楽学塾 随時入会受付中！
理系大学受験ネット塾苦学楽学塾(ご案内はこちら)ご入会は、
まず、こちらまでメールをお送りください。
　雑誌「大学への数学」出版元