阪大理系数学
'22
年前期
[2]
とする。以下の問いに答えよ。
(1)
であることを示せ。
(2)
とするとき、
が成り立つことを示せ。
(3)
は無理数であることを示せ。
解答
n
を自然数として、
を
の多項式で表したものを
として、多項式
をチェビシェフの多項式と言います。
,
,
より、
,
,
,
です。
(1)
より、
(2)
(1)
より、
となるので、
よって、
より、
・・・@
よって、
(3)
背理法で示します。
が有理数だと仮定し、
p
,
q
を互いに素な自然数として、
とおけるとします。
より、
であって、
・・・A です。@より、
q
,
,
p
は整数なので、
p
は
q
の倍数となり
p
,
q
が互いに素であることから
に限られます。するとAより、
となりますが、これを満たす自然数
p
は存在しません。つまり
とおけるとした仮定に矛盾します。よって
を有理数とした仮定は誤りで、
は無理数です。
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