阪大理系数学'22年前期[2]
とする。以下の問いに答えよ。
(1) 
であることを示せ。 (2) 
とするとき、
が成り立つことを示せ。 (3) 
は無理数であることを示せ。
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解答 nを自然数として、
を
の多項式で表したものを
として、多項式
をチェビシェフの多項式と言います。
，
，
より、
，
，
，
です。
(1) 
より、
(三角関数を参照)
(2) 
(加法定理を参照)
(1)より、
となるので、 よって、
(3) 背理法で示します。
が有理数だと仮定し、p，qを互いに素な自然数として、
とおけるとします。
より、 であって、
･･･② です。①より、 q，
，pは整数なので、pはqの倍数となりp，qが互いに素であることから
に限られます。すると②より、
となりますが、これを満たす自然数pは存在しません。つまり
とおけるとした仮定に矛盾します。よって
を有理数とした仮定は誤りで、
は無理数です。
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より、
･･･①
