慶大理工数学'08年[A4]
(1) tを実数とする。座標平面内の2点
，
を結ぶ線分の垂直2等分線
の傾きは テ で、方程式はy＝ テ x＋ ト である。 直線
に関して点
と対称な位置にある点を
とする。座標であらわすと、
は
，
は ナ ，
は ニ である。また
の座標をtを用いてあらわすと
である。
のとき
は直線y＝ ノ に限りなく近づく。 (2) tがすべての実数をとるときに
が描く曲線をCとする。点
(
)におけるCの接線の傾きは、
のとき ハ に近づく。曲線Cと直線
が異なる3点で交わるための必要十分条件は ヒ ＜ a ＜ フ である。
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解答 「必要十分条件」と書かれているから、きちんと証明しておかなければ(ヒ)(フ)の解答を書いてはならないと思い込んでしまうと、「合格」が遠くなってしまいます。
くらいを調べれば、曲線Cの大体の姿はわかるので、試験場では、一々微分せずに(ハ)(ヒ)(フ)を埋めてしまうのが利口だと思います。
(1)(テ) 2点
，
を結ぶ線分の傾きは、
のとき、
，
の傾きはt ......[答] (
のときもこれでよい) (ト) 2点
，
の中点は、
，この点を通って、傾きtの直線
は、 
(ナ) 
のとき、
：
となるので、
は、
になります(右図水色)。
のとき、
：
は、
......[答] (右図黄緑色)
は、
......[答] (右図橙色)直線
と
が垂直：
･･･①
線分
の中点は
上：
･･･②
①より、
･･･③
②に代入して、
∴ 
③に代入して、 よって、(ヌ)は、2，(ネ)は、
......[答]試験場では、
が
，
が
，
が
となることを確認してください。それと、
と
のx座標はともに1です。
のとき
がどこに行ってしまうのか、ということが気になります。
も確認しましょう。
のとき、
，
は、
です。
なので、
の軌跡は、
のときに
を通過した後、一旦、
の部分に出っ張ってから、
のときに
まで引き返してくるらしい、ということがつかめます。･･･(＊) (ノ) 
のとき
が近づく直線、というのは、漸近線のことですが、
のとき、
というだけで、(ノ)を0としてしまっても良いと思います。 きちんと確認するのなら、
のとき、 より、漸近線の傾きは0 (実は、空所の形からわかってしまう)で、
より、漸近線のy切片も0よって、漸近線は
......[答]漸近線がx軸であることと、(＊)から、(2)の(ハ)(ヒ)(フ)は微分計算しなくても、答がわかってしまいます。微分計算をやってしまうと時間的ロスが大きくなるので、試験場では充分に注意してください。 
(2)(ハ) 試験場では以下のようにするのが実用的です。
(1)から曲線Cは、
でとがっていて(尖点と言います)、
のときの接線は、
のときの
(傾き：1)に垂直になりそうです。従って、接線の傾きは、
のとき、
......[答] に近づくことがわかります。 (ヒフ)これで、曲線Cの概形が右図のようになることがわかってしまうので、曲線Cと直線
が異なる3点で交わるための必要十分条件は、
とすると、
，または、
とおくと、より、
は単調増加な関数(3次関数の増減を参照)で、
，
より、方程式
は
の範囲に解をもっています。これをαとします。増減表より(関数の増減を参照)、tを
から次第に大きくしてくると、それに伴ってxは、
までは増大し、曲線は左から右に進みますが、
においてはxは減少し、曲線は、右から左に引き返す感じになります。
においてはxは増大し、再び、左から右に進みます。 2つの増減表からグラフの概形は右上図のようになります。
において、
のとき、
より、(ハ)は
グラフの概形より、
は曲線Cと(微分法の方程式への応用(2)を参照)、
のとき、第4象限でのみ1交点をもち、
のとき、1交点
をもち、
のとき、第3象限で1交点、第1象限で、曲線の
の部分、また、曲線の
の部分で、計3交点をもち、
のとき、第3象限で1交点、第1象限で1交点
，合わせて、2交点をもち、
のとき、第3象限で1交点をもつ、
従って、曲線Cと直線
が異なる3点で交わるための必要十分条件は、
これで、(ヒ)が0，(フ)が1，ということになります。
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のとき、
：
，
......[
とすると、
と
に関して対称、ということは
として、