京大理系数学'07年前期甲[1]
次の各問にそれぞれ答えよ。
問1．
，
とするとき、 
を求めよ。
問2．得点1，2，･･･，nが等しい確率で得られるゲームを独立に3回繰り返す。このとき、2回目の得点が1回目の得点以上であり、さらに3回目の得点が2回目の得点以上となる確率を求めよ。
【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。
解答 問1．は、ハミルトン・ケーリーの定理と多項式の除算を利用する典型問題です。問2．は、うまい考え方もあるようですが、ここでは実用的に、余事象を考えてみます。なお、重複組み合わせを利用する別解を付記しておきます。
∴ 
･･･①
とおき、
を①と同型の多項式
で割る(多項式の除算を参照)と、商が
，余りが
，よって、 また、①を用いると、
......[答]
問2． 1回目，2回目，3回目の得点をx，y，zとすると、
となる確率を求めたいわけです。 そのまま場合の数を数えても良いのですが、余事象を考えてみます。
‘
'，つまり‘
かつ
'の余事象は、‘
または
'です。
‘
'という事象ではzは任意なので、x，yについてのみ考えます。x，yの出方は、全部で
通りあります。
‘
'という事象と‘
'という事象とは排反でありまた同様に確からしく、‘
または
'という事象の余事象は‘
'です。 ‘
'という出方は、n通りあります。よって、‘
'となる確率
は、
‘
'という確率も同様に
ところで、‘
'かつ‘
'，つまり‘
'となる場合の数は、n個の異なるものから3個を選ぶ組み合わせの数であって、
通り。x，y，zの出方は、全部で
通りあります。
‘
'となる確率
は、 求める確率
は、 
......[答]別解 x，y，zの出方は、全部で
通りあります。1からnまでn個の数字を並べて書いておき、n個の各数字の右側nカ所のどこかに3本の境界線を書き込み(1つの数字の右側に複数の境界線を書き込んでも構わない)、各境界線の左にある数字をx，y，zとすると、
となる1つの場合を作ることができます。
‘
'となる場合の数は、n個の数字と境界線の並べ方を数えれば良いのですが、1の左に境界線が来てはいけないので、2からnまでの
個の数字と3本の境界線を置くべき
個の位置から境界線を置く3カ所を選ぶ組み合わせの数に等しく、
通りあります(重複組み合わせを参照)。
求める確率は、
......[答]
【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。
京大理系数学TOP 数学TOP TOPページに戻る
【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。
各問題の著作権は
出題大学に属します。©2005-2024(有)りるらる 苦学楽学塾 随時入会受付中！理系大学受験ネット塾苦学楽学塾(ご案内はこちら)ご入会は、
まず、こちらまでメールを
お送りください。 
または
'となる確率
は、
