京大理系数学'20年前期[1]
a，bは実数で、
とする。zに関する方程式
･･･(＊)
の正三角形の頂点となっているとする。このとき、a，bと(＊)の3つの解を求めよ。
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解答 複素数平面上で正三角形の頂点となっている3次方程式の解の考え方は色々あります。ここでは、1の3乗根の1つ、
を使って考えてみます。
，
です。
1辺の長さが
の正三角形の外接円の半径をrとすると、正弦定理より、
∴ 
αを
となる複素数とすると、原点を中心とする半径aの円周上に
，それを原点の周りに
回転した
，さらに
回転した
の3点をとると、正三角形となります。さらに、この3点を複素数平面上でβだけ平行移動した、
，
，
が、(＊)の相異なる3解になっているとします。
3次方程式の解と係数の関係より、
･･･①
･･･②
･･･③
∴ 
･･･④
よって、(＊)の3解は、
，
，
になります。 (＊＊)
②より、
∴ 
･･･⑤
③より、
･･･⑥
･･･⑦ は実数なので、
，よって、
も実数ですが、
より、
∴ 
⑦より、
なので、
，⑦より、
，aは実数なので、
，⑤より、
∴ 
・
のとき、(＊＊)の3解は、 
･･･⑧，
･･･⑨，
･･･⑩・
のとき、このαは、
を原点の周りに
回転させた点
なので、(＊＊)の3解は、
は⑨に一致し、
は⑩に一致し、
は⑧に一致します。 ・
のとき、このαは、
を原点の周りに
回転させた点
なので、(＊＊)の3解は、
は⑩に一致し、
は⑧に一致し、
は⑨に一致します。 以上より、
，
，(＊)の3解は、
，
，
......[答]
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