京大理系数学'21年前期[1]

次の各問に答えよ。
1 xyz空間の3ABCを通る平面αに関して点Pと対称な点Qの座標を求めよ。ただし、点Qが平面αに関してPと対称であるとは、線分PQの中点Mが平面α上にあり、直線PMPから平面αに下ろした垂線となることである。
2 赤玉、白玉、青玉、黄玉が1個ずつ入った袋がある。よくかきまぜた後に袋から玉を1個取り出し、その玉の色を記録してから袋に戻す。この試行を繰り返すとき、n回目の試行で初めて赤玉が取り出されて4種類全ての色が記録済みとなる確率を求めよ。ただしn4以上の整数とする。

解答 ウォーミング・アップ問題2題です。

1 平面α方程式は、x切片が1y切片がz切片が2であることから、
つまり、 ・・・@
これより、平面
α法線ベクトルは、は平面αと垂直で法線ベクトルと平行。よって、t を実数として、とおけます。
Mは平面α上の点なので、の各成分、つまりMの座標を@に代入して、
 ∴
よって、Qの座標は、 ......[]
別解.上記では平面の方程式に関する知識を用いて解きましたが、平面の方程式を使わないのであれば、以下のようになります(空間ベクトルを参照)
平面αの法線ベクトル、つまり、平面αに垂直なベクトルは、の双方に垂直なベクトルとして、 (外積)を、以下のように計算すると、

// より、kを実数として、は、平面α上のベクトルなので、より、 (内積を参照),よって、
 ∴
これより、となります。

2  n回目の試行で初めて赤玉が取り出されて4種類全ての色が記録済みとなる、ということは、回目までは、赤玉が出ず、かつ、白玉、青玉、黄玉が少なくとも1回は出て、n回目で赤玉が出る、ということです。「少なくとも」というキーワードが出てくるので余事象の方、つまり、回目までに、白玉が1回も出ないか、または、青玉が1回も出ないか、または、黄玉が1回も出ない場合を考えます。
1回の試行で赤玉が出ない確率なので、回目まで、赤玉が1回も出ない(右図で黒い円の内部)確率は、 ・・・@
注.以下、わかりにくいので、右図を見ながら考えてください。右図で、赤い円の内部は、赤玉に加えて青玉も1回も出ない場合、青い円の内部は、赤玉に加えて黄玉も1回も出ない場合、緑色の円の内部は、赤玉に加えて白玉も1回も出ない場合、3円が重なっている灰色領域Gは、赤玉も青玉も黄玉も白玉も1回も出ない場合ですが、これはあり得ないので空集合。
@のうちで、白玉だけ回出る(右図で薄紫の領域D)確率は ・・・A,青玉だけ回出る(右図で黄緑色の領域E)、黄玉だけ回出る(右図で橙色の領域F)のも同じでです。
また、@のうちで、回目まで、青玉あるいは黄玉だけで回出る
(つまり、白玉と赤玉は1回も出ない、右図で領域Cと領域Eと領域Fを合わせた緑色の円の内部)確率は、 ・・・B
但し、この中、つまり、青玉あるいは黄玉だけで回出るうちには、青玉だけ回出る
(黄玉が1回も出ない、右図の領域E)場合、と、黄玉だけ回出る(青玉が1回も出ない、右図の領域F)場合も含むので、重複を避けて、白玉と赤玉が1回も出ずに、青玉が少なくとも1回出て黄玉も少なくとも1回出る(右図の水色の領域C)確率は、B−A×2として(緑色の円の内部から黄緑色Eと橙色Fを除く) ・・・C
青玉と赤玉が
1回も出ずに、黄玉が少なくとも1回出て白玉も少なくとも1回出る(右図のピンク色の領域A)確率も同じです。
黄玉と赤玉が
1回も出ずに、青玉が少なくとも1回出て白玉も少なくとも1回出る(右図の淡赤色の領域B)確率も同じです。
以上より、回目までに、白玉が
1回も出ないか、または、青玉が1回も出ないか、または、黄玉が1回も出ない(右図で赤い円内部、青い円内部、緑の円内部を合わせた領域)確率は、A×3+C×3として(領域ABCDEFを合わせる)
 ・・・D
回目まで、赤玉が出ず、かつ、白玉、青玉、黄玉が少なくとも1回は出る(右図で黄色の領域)確率は@−Dで、
n回目に赤玉が出る確率はなので、n回目の試行で初めて赤玉が取り出されて4種類全ての色が記録済みとなる確率は、
......[]



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