京大理系数学'21年前期[1]
次の各問に答えよ。
問1 xyz空間の3点A,B,Cを通る平面αに関して点Pと対称な点Qの座標を求めよ。ただし、点Qが平面αに関してPと対称であるとは、線分PQの中点Mが平面α上にあり、直線PMがPから平面αに下ろした垂線となることである。 問2 赤玉、白玉、青玉、黄玉が1個ずつ入った袋がある。よくかきまぜた後に袋から玉を1個取り出し、その玉の色を記録してから袋に戻す。この試行を繰り返すとき、n回目の試行で初めて赤玉が取り出されて4種類全ての色が記録済みとなる確率を求めよ。ただしnは4以上の整数とする。
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解答 ウォーミング・アップ問題2題です。
問1 平面αの方程式は、x切片が1,y切片が,z切片が2であることから、
つまり、 ・・・@
これより、平面αの法線ベクトルは、,は平面αと垂直で法線ベクトルと平行。よって、t を実数として、とおけます。 Mは平面α上の点なので、の各成分、つまりMの座標を@に代入して、 よって、Qの座標は、 ......[答] 別解.上記では平面の方程式に関する知識を用いて解きましたが、平面の方程式を使わないのであれば、以下のようになります(空間ベクトルを参照)。 平面αの法線ベクトル、つまり、平面αに垂直なベクトルは、,の双方に垂直なベクトルとして、 (外積)を、以下のように計算すると、 // より、kを実数として、,,は、平面α上のベクトルなので、より、 (内積を参照),よって、 ∴ これより、となります。
問2 n回目の試行で初めて赤玉が取り出されて4種類全ての色が記録済みとなる、ということは、回目までは、赤玉が出ず、かつ、白玉、青玉、黄玉が少なくとも1回は出て、n回目で赤玉が出る、ということです。「少なくとも」というキーワードが出てくるので余事象の方、つまり、回目までに、白玉が1回も出ないか、または、青玉が1回も出ないか、または、黄玉が1回も出ない場合を考えます。 1回の試行で赤玉が出ない確率はなので、回目まで、赤玉が1回も出ない(右図で黒い円の内部)確率は、 ・・・@ 注.以下、わかりにくいので、右図を見ながら考えてください。右図で、赤い円の内部は、赤玉に加えて青玉も1回も出ない場合、青い円の内部は、赤玉に加えて黄玉も1回も出ない場合、緑色の円の内部は、赤玉に加えて白玉も1回も出ない場合、3円が重なっている灰色領域Gは、赤玉も青玉も黄玉も白玉も1回も出ない場合ですが、これはあり得ないので空集合。
@のうちで、白玉だけ回出る(右図で薄紫の領域D)確率は ・・・A,青玉だけ回出る(右図で黄緑色の領域E)、黄玉だけ回出る(右図で橙色の領域F)のも同じでです。
また、@のうちで、回目まで、青玉あるいは黄玉だけで回出る(つまり、白玉と赤玉は1回も出ない、右図で領域Cと領域Eと領域Fを合わせた緑色の円の内部)確率は、 ・・・B
但し、この中、つまり、青玉あるいは黄玉だけで回出るうちには、青玉だけ回出る(黄玉が1回も出ない、右図の領域E)場合、と、黄玉だけ回出る(青玉が1回も出ない、右図の領域F)場合も含むので、重複を避けて、白玉と赤玉が1回も出ずに、青玉が少なくとも1回出て黄玉も少なくとも1回出る(右図の水色の領域C)確率は、B−A×2として(緑色の円の内部から黄緑色Eと橙色Fを除く)、 ・・・C
青玉と赤玉が1回も出ずに、黄玉が少なくとも1回出て白玉も少なくとも1回出る(右図のピンク色の領域A)確率も同じです。
黄玉と赤玉が1回も出ずに、青玉が少なくとも1回出て白玉も少なくとも1回出る(右図の淡赤色の領域B)確率も同じです。
以上より、回目までに、白玉が1回も出ないか、または、青玉が1回も出ないか、または、黄玉が1回も出ない(右図で赤い円内部、青い円内部、緑の円内部を合わせた領域)確率は、A×3+C×3として(領域A,B,C,D,E,Fを合わせる)、 ・・・D 回目まで、赤玉が出ず、かつ、白玉、青玉、黄玉が少なくとも1回は出る(右図で黄色の領域)確率は@−Dで、 n回目に赤玉が出る確率はなので、n回目の試行で初めて赤玉が取り出されて4種類全ての色が記録済みとなる確率は、 ......[答]
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