京大理系数学'21年前期[6]

次の各問に答えよ。
1 n2以上の整数とする。が素数ならばnも素数であることを示せ。
2 a1より大きい定数とする。微分可能な関数を満たすとき、曲線の接線で原点を通るものが存在することを示せ。

解答 問2の方は、題意がわかりづらいかも知れません。

1 のとき、素数です。確かにも素数です。
のとき、は素数です。確かにも素数です。
のとき、は、
2以上の自然数の積となり素数ではなく、も素数ではない、ということになります。ですが、
としたときに、右辺のが素数かどうかを判断するのは容易ではない、ということで、素数かどうかを扱いやすいnの方から考えていきたいのです。そこで、問題文のまま考えていくのではなく、問題文の対偶を示すことになります。本問の対偶は、
2以上の整数nが素数でなければ、は素数でない」 ・・・()
2以上の整数nが素数でないとき、2個の2以上の自然数kmの積として、と書けます。このとき、
なので、より、右辺は2個の2以上の自然数の積の形をしていて、素数ではありません。よって、()が示せました。()の対偶である、「が素数ならばnも素数である」が成り立ちます。

2 まず、aは定数であって変数ではないことに注意します。が出てくるので、曲線上の2を通る直線を考えると、その傾きは、
直線の方程式は、
 ・・・@
となり、直線@が原点を通ることがわかります。これが、の意味です。
における
接線は、
 ・・・A
となりますが、Aのにおける状況は、接線の傾きに関して以下の3通りあります。
(i) 接線Aの傾きが直線@の傾きよりも小さい、つまり、 ・・・B
(ii) 接線Aの傾きが直線@の傾きと等しい、つまり、
(iii) 接線Aの傾きが直線@の傾きよりも大きい、つまり、 ・・・C
上記の(ii)の場合、Aのy切片:となるので、接線A(直線@に一致)は原点を通ります。
(i)の場合、少なくともの近傍(すぐ近く)の部分において、曲線は直線@の下側に来ます。このあと、曲線を通過するので、直線@と平行なの接線(右図緑線)であって、直線@の下側に来るものが存在します。平均値の定理を使って書くと、は微分可能な関数なので、
を満たすcが存在します(複数個存在する場合には1に最も近いものを選びます)における接線(右図緑線)は、直線@と平行であってかつ下側にあるので、y切片:です。
における接線:
y切片をとおくと、
,Bより、
は連続な関数なので、中間値の定理より、において、となるt が存在します。これは、におけるの接線のy切片が0で、原点を通る接線(右図でピンク色の線)が存在することを意味します。
(iii)の場合も(i)とほぼ同様ですが、少なくともの近傍のの部分において、曲線は直線@の上側に来ます。平均値の定理より、
を満たすcが存在します。cが複数個存在するときには、1に最も近いものを選べば、における接線(右図緑線)は、直線@と平行であってかつ上側に来るので、接線のy切片:です。接線のy切片をとおくと、
,Cより、
は連続な関数なので、中間値の定理より、において、となるt が存在します。これは、におけるの接線のy切片が0で、原点を通る接線(右図でピンク色の線)が存在することを意味します。
以上より、曲線の接線で原点を通るものが存在します。
別解.上記は、図形的に考察を進めましたが、上記解答の図でわかる通り、のとき、曲線の接線が原点を通過する((i)(iii)の図のピンク色の直線)のは、曲線上の点と原点を結ぶ直線の傾きが極値をとるときなので、曲線上の点と原点を結ぶ直線の傾きを値とする関数を使って以下のように考えることもできます(試験後に家に戻ってからなら考えられるかも知れませんが、試験場で思いつけるかどうかは疑問です)
は、平均値の定理の要件を満たすので、平均値の定理より、
 ・・・D,
となるcが存在します。ところで、
 ・・・E
D,Eより、なので、
 ∴
曲線における接線は、
これは、原点を通ります。



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