京大理系数学'26年前期[4]
平面において、次の条件(＊)を満たす正三角形の1辺の長さの最小値を求めよ。
(＊) 1辺の長さが1の正方形であって、4つの頂点のすべてその正三角形の内部または辺上にあるようなものが存在する。
【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。
解答 問題文が漠然としていて捉えにくいのですが、何を調べればよいのか、ということが確定すれば、あとは一本道です。
1辺の長さ1の正方形の4頂点をO
，A
，B
，C
として考えます。
右図のように、正方形が3本の点線でできる正三角形の内部にある場合、正方形のいずれかの頂点が点線上に来るまで点線を平行移動させて正方形に近づけて行くと、正三角形の1辺の長さは次第に小さくなります。そこで、右図実線のように、正三角形の辺上に正方形の頂点が来る場合を考えます。
このとき、正三角形の1辺が正方形の1辺と重なる場合と重ならない場合があります。
正三角形の1辺上に正方形の頂点が来るのみで正方形の1辺と正三角形の1辺が重ならない場合、例えば右図のような場合、正三角形の3辺となる直線を、①がO
，②がB
，③がC
を通るとして、直線①とx軸とがなす角
の大きさをθ(
)とすると、
，
です。
なので
であり、
です。
になると、右図のようになり、直線②がA
を通るようになります。このとき、直線③がx軸となす角の大きさ、即ち辺BCとなす角は
です。
より、
となります。
になると、右図のようになり、直線③が点B
を通るようになります。
のとき、直線①は辺OA，即ちx軸と重なり、右図のようになります。
のとき、直線②は辺ABと重なり、右図のようになります。
のとき、直線③は辺BCと重なり、右図のようになります。
のとき、直線①は辺OC，即ちy軸と重なり、右図のようになります。
正三角形の1辺が正方形の1辺と重なるのは、以上の
の場合であり、正三角形の1辺が正方形の1辺と重ならないのは、以上の
，
，
の場合になります。これで、正三角形と正方形の位置関係のすべてなのですが、
の状況を反時計回りに
回転すると
の状況になり、さらに
回転すると
の状況となり、さらに
回転すると
の状況になります。
また、
の状況を反時計回りに
回転すると
の状況になり、さらに
回転すると
の状況になります。
従って、
の場合を
の状況の特別な場合とすることにより、条件(＊)を満たす正三角形の1辺の長さの最小値を求めるために、
において考えれば十分です。
の場合の図を右に再掲します。
の場合を含め、
の範囲で考えます。
原点を通る直線①の傾きは
，直線の方程式は、
･･･①
で、点
を通る直線②とx軸とのなす角の大きさは
，直線②の傾きは、
直線の方程式は、
･･･②
①となす角が
で、点
を通る直線とx軸とのなす角の大きさは、
，この直線の傾きは、
直線の方程式は、
･･･③
このとき、
なので、直線③の傾きは正です。
上記より
の範囲で考えると、
･･･④
直線①と直線②の交点は、①と②を連立し、
直線①と直線③の交点は、①と③を連立し、
正三角形の1辺の長さは、(⑤－⑥)×
として、
･･･⑦
の範囲で、
とおくと、正三角形の1辺の長さは
です。
とすると、
(分母の有理化を参照)
④より
における増減表は、
増減表より、
における正三角形の1辺の長さの最小値は、
......[答]
別解．θの範囲を
として考えてよい、ということになれば、座標をとって考えるよりも、三角比で考える方がラクです。 
の範囲の図で
を含めて考え、①と③の交点をF，②と③の交点をGとすると、正三角形の1辺の長さはFGです。
△OCFにおいて正弦定理より、
∴ 
△BCGにおいて正弦定理より、
∴ 
正三角形の1辺の長さは、
となるので
，
です。即ち、
のとき、
ですが、この範囲では、
より、
，つまり
のときにFG最小(三角関数のグラフを参照)で、
より、正三角形の1辺の長さの最小値は、 となります。
【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。
京大理系数学TOP 数学TOP TOPページに戻る
【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。
各問題の著作権は
出題大学に属します。なお、解答は、
苦学楽学塾制作です。©2005-2026(有)りるらる 苦学楽学塾 随時入会受付中！理系大学受験ネット塾苦学楽学塾(ご案内はこちら)ご入会は、
まず、こちらまでメールを
お送りください。 
･･･⑤
･･･⑥
より、
