東工大数学'07年前期[4]
(1) 整数
と正数
に対して (2) 
は(1)で定めたものとする。
，
とy軸で囲まれる図形の面積を
，
に対し
，
と
で囲まれる図形の面積を
とおく。このとき 
を求めよ。
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解答 最終解答はかなりゴタつきますが、考え込むようなところはなく、ただひたすら計算するだけです。最後の部分だけ、はさみうちでちょっと味付けする必要があります。
において、2つの曲線
と
が接するとして、y座標同士を等しいとおき、
･･･①
･･･②①，②より、
を消去し、
より、 展開して整理すると、
∴ 
･･･③
②より、
∴ 
(複号同順)
より、ここでは複号はマイナスをとります(③では、プラスをとる)。
よって、
また、
......[答]
(2) 以後、簡単のため、
とします。 
，
(1)より、
と
は、
において、接します。
右図より、
は、曲線
とy軸、x軸、直線
で囲まれる部分の面積
から、曲線
，
，･･･，
とx軸で囲まれる部分の面積
，及び、曲線
とx軸、直線
で囲まれる部分の面積
を引いたものになります。また、
より、
について、 従って、
として、ここで、
とすると、
は定数であり、
，
(関数の極限を参照)より、 
......[答]
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と
が接するような
を求めよ。
