東京大学理系2005年前期数学入試問題
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[1] 
に対し
とする。
[解答へ]
[2] 
となるどのような複素数zに対しても
とは表されない複素数w全体の集合をTとする。すなわち、
とする。このとき、Tに属する複素数wで絶対値
が最大になるようなwの値を求めよ。
[解答へ]
[3] 
とする。ただし、eは自然対数の底である。
(1) 
ならば
であることを示せ。 (2) 
を正の数とするとき、数列
(
)を、
によって定める。
であれば、 であることを示せ。
[解答へ]
[4] 3以上9999以下の奇数aで、
が10000で割り切れるものをすべて求めよ。
[解答へ]
[5] Nを1以上の整数とする。数字1，2，･･･，Nが書かれたカードを1枚ずつ、計N枚用意し、甲、乙のふたりが次の手順でゲームを行う。
(i) 甲が1枚カードをひく、そのカードに書かれた数をaとする。ひいたカードはもとに戻す。
(ii) 甲はもう1回カードをひくかどうか選択する。ひいた場合は、そのカードに書かれた数をbとする。ひいたカードはもとに戻す。ひかなかった場合は、
とする。 
の場合は乙の勝ちとし、ゲームは終了する。(iii) 
の場合は、乙が1枚カードをひく。そのカードに書かれた数をcとする。ひいたカードはもとに戻す。
の場合は乙の勝ちとし、ゲームは終了する。 (iv) 
の場合は、乙はもう1回カードをひく。そのカードに書かれた数をdとする。
の場合は乙の勝ちとし、それ以外の場合は甲の勝ちとする。
(ii)の段階で、甲にとってどちらの選択が有利であるかをaの値に応じて考える。
以下の問いに答えよ。
(1) 甲が2回目にカードをひかないことにしたとき、甲の勝つ確率をaを用いて表せ。
(2) 甲が2回目にカードをひくことにしたとき、甲の勝つ確率をaを用いて表せ。
ただし、各カードがひかれる確率は等しいものとする。
[解答へ]
[6] rを正の実数とする。xyz空間において
をみたす点全体からなる立体の体積を求めよ。
[解答へ]
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に対し
の第n次導関数は、数列
，
を用いて
，
に関する漸化式を求めよ。
とおく。
を用いて
，
の一般項を求めよ。
