東大理系数学'05年前期[2]
となるどのような複素数zに対しても
とは表されない複素数w全体の集合をTとする。すなわち、
とする。このとき、Tに属する複素数wで絶対値
が最大になるようなwの値を求めよ。
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解答 問題文前半の言い方では、考えにくいので、集合記法で書き直してある方で考えることにします。
まず、変換式：
をzの2次方程式：
･･･① と見て、zについて解きます。
･･･②
は2乗して
になる複素数だとします。
ですがこれでは、
の処置に困ります。2乗して
になる複素数を考えるのに便利な技巧は極形式です。でも、ここで極形式を持ち出すくらいなら、はじめから極形式で書いてきた方がよいだろう、ということで、zを極形式で、
(
，
)と表すことにします。
という条件は、
となります。
これはrを固定して考えると、
，つまり、
のときに最大になります。
このとき、
が
を満たせばwはT上の点になります。
のとき、
として、
においては、
より
は単調増加で、
のとき
最大。
このとき、
できた！と驚喜したくなるのですが、解答として妥当かどうかを調べてみます。
①で、
としてみると、
∴ 
は
を満たすのですが、
は満たしません。
は、集合Tの条件式：
を満たさないのです。
つまり、
は集合Tの要素にはなり得ず、この問題の解答とするわけにはいきません。
これは、②が、wに対してzの値が1通りであるかのように見えるためです。
ですが、①は2次方程式なので、解は2個、つまり、zの値は2通りあります。
に対するzは
と
の2個あります。
の最大値は、2次方程式①の解が2個とも
を満たすという条件下で考えなければなりません。
かと言って、
を満たすzを求めるのは、厳しそうです。
そこで、少し単純な問題を考えてみます。
与えられた
に対して、
とおき、
を満たすzを求めてみます。
また、
より
より、
よって、
，または、
･･･(＊)
の最大も、
に関する条件もラクに考えることができます。
実は、東大第2問は、この単純化された問題に帰着できる形をしています。
の両辺に1を加えると、
･･･③
(
)に対して、
(
，
)とおき、
を満たすzを求めてみます。
よって、上記(＊)を利用して、
左辺を平方完成して、
∴ 
(ここまで、複号同順) ･･･⑤
という条件は、2次方程式①の2つの解④の双方について成立する必要があります。⑤の条件も複号の＋，－の双方について成立する必要があります。
つまり、ある定められたφに対して、
かつ 
(
)として
とおくと、
かつ 
･･･⑥
より、
は単調増加。 (合成関数の微分法、関数の増減を参照)
，
より、
において、
また、
とすると、
∴ 
従って、
一方、
のとき、
・
であれば、
はR最大のときに最大となります。また、R最大という条件のもとで、
が最小のときに、
は最大です。 上記のように、Rが最大値
をとるときに、
であって、
なので、R最大と
最小は同時に起こり、しかも、
の最大値は、
以上より、
が最大になるのは、
，
(
)のときで、このとき、
......[答]
一応、確認をしておくと、
として、
を解くと、
，このとき、
となり、2解とも、
を満たしています。
別解 上記のように素直に極形式でやってしまうと、(＊)から④，⑤と来るあたりでゴタつきます。そこで、2乗して
となる複素数を求めてしまわずに、単に、αと置くことにします。すると、③：
を満たすzは、
より、
，また、
より、
条件：
は、複号の±のいずれに対しても成り立つ必要があるので、
かつ 
の円から内側であって、かつ、
を中心とする半径
の円から内側の複素数となります。このとき、
となりますが、等号が成立するのは、
のときで、2円の交点は、
より、αがこの交点に来るときにw最大です。
従って、
の最大値を与えるwは、
......[答]
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，
とおいて、
･･･④
より、
∴ 
においては、
より、⑥ ⇔ 
が最大になるのは
のときで、
においては、
より、⑥ ⇔ 
が最大になるのは
のときで、
であれば、
は
において最大で、最大値は1
