東大理系数学'09年前期[2]
実数を成分にもつ行列
と実数r，sが下の条件(i)，(ii)，(iii)をみたすとする。
(i) 
(ii) 
このとき以下の問いに答えよ。
(1) 
をa，c，r，sを用いて表せ。 (3) 
かつ
を示せ。
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解答 条件(ii)は、行列Aの固有値sに対する固有ベクトルが
だと言っているのですが、問題を解く上ではあまり役には立ちません。素直に行列の積の計算をするしかなさそうです。
(1) 条件(iii)において
とすると、 条件(ii)と合わせて一つにまとめて書く(行列の対角化を参照)と、 両辺に左から
をかける(逆行列を参照)と、 
......[答]
(2) 
とおくと、
･･･① (Ⅰ) 
のとき、①より予測は成立します。 (Ⅱ) 
のとき予測が成立するとして、 
これより、
よって、
のときも成立します。 (Ⅰ)，(Ⅱ)より、
(
) 
(
とおく) ･･･②これより、
とおいて、∴ 
，
②より、
となるために、
(
のときには、条件(i)より
となり、極限値は0になり得ない)①より、
∴ 
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(
)とするとき、
(
)とするとき、
を示せ。
より、
･･･③
と予測し、
