東大理系数学'10年前期[2]
(1) すべての自然数kに対して、次の不等式を示せ。
(2) 
であるようなすべての自然数mとnに対して、次の不等式を示せ。
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解答 定積分に関する不等式を導く問題です。同一趣旨の過去問07年前期[6]と比べると、素直に考えて行ける分だけ、本問の方がやや容易かも知れません。
(1) 定積分の被積分関数は、
の形の分数関数です。これを①は、
，
より、曲線
とx軸，y軸とで囲む部分、即ち、右図黄緑色着色部分の面積で、
，
，
を3頂点とする三角形の面積
よりも小さくなるので、このことから与不等式の右側の不等号が示せそうです。
同様に考えて、与不等式の左側の不等号は、
，
，
を3頂点とする三角形の面積
と比較することにより示せるのではないか、と、期待できます。
，
を通る直線は、 
･･･②
，
を通る直線は、
･･･③②と
は、
において、 より、直線②は曲線
から上側にあり、
③と
は、
において、 より、直線③は曲線
から下側にあります。
これより、直線③，曲線
，直線②とx軸，y軸とで囲む面積を比較して、 ∴ 
(2) 示すべき不等式の右辺は、
となっていて、同様に、不等式の左辺についても、
であることに着目します。
定積分Iを計算した結果を入れた(1)の不等式
の各辺を
で割ってできる不等式 
･･･④の右辺を、
として加え合わせると、
になるので、(1)の結果を変形して加え合わせればよい(数列の求和技法を参照)、ということになります。左辺の形も右辺に合わせて、
になっていると都合がよいのですが、 より、
となるので、④より、
･･･⑤⑤において、
として、 ･･････
辺々加え合わせることにより、
∴ 
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，
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